Beweis einer Implikation < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 26.10.2008 | | Autor: | Waldmann |
| Aufgabe | Beweisen Sie für positive Zahlen x1, . . . , xn die Implikation
[mm] x_{1} [/mm] · [mm] x_{2} [/mm] · ... · [mm] x_{n} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + ... + [mm] x_{n} \ge [/mm] n.
Hinweis: Um die Aussage für n+1 zu zeigen, können Sie ohne Einschränkung (Warum ?) annehmen [mm] x_{n} \le [/mm] 1 und [mm] x_{n+1} \ge [/mm] 1 und dann die Induktionsvoraussetzung auf die
Zahlen [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , ... , [mm] x_{n-1} [/mm] , [mm] x_{n}x_{n+1} [/mm] anwenden. |
Diese Implikation soll durch vollständige Induktion bewiesen werden, daher gilt für den Induktionsanfang:
A(1): [mm] x_{1}=1 \Rightarrow x_{1} \ge [/mm] 1
nun kann man eine Fallunterscheidung für [mm] x_{1} [/mm] anbringen, welche zu dem schluss führt:
für [mm] x_{1}=1 [/mm] wahr [mm] \Rightarrow [/mm] wahr
für [mm] x_{1}> [/mm] 1 falsch [mm] \Rightarrow [/mm] wahr
für [mm] x_{1}< [/mm] 1 falsch [mm] \Rightarrow [/mm] falsch
damit ist die Implikation für n=1 unabhängig von x wahr
die Induktionsvorraussetzung ist dann
A(n): [mm] x_{1} [/mm] · [mm] x_{2} [/mm] · ... · [mm] x_{n} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + ... + [mm] x_{n} \ge [/mm] n
und die Induktionsbehauptung
A(n+1): [mm] x_{1} [/mm] · [mm] x_{2} [/mm] · ... · [mm] x_{n} [/mm] · [mm] x_{n+1} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] + [mm] x_{n+1} \ge [/mm] n.
leider kann ich mit dem Hinweis nicht viel anfangen und weiß daher auch nicht wie ich diesen anzusetzen habe um damit die Induktionsbehauptung auf die Induktionsvorraussetzung zurück zu führen. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Tipp/Vorschlag für mich.
Ich habe diese Frage in kein Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Diese Induktion ist ein bißchen raffinierter als andere.
Du kannst das ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Gruß v. Angela
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