Beweis einer Folgengleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ich bin Mathestudent im 3. Semester in meiner ersten Stochastik Vorlesung. Hatte noch nie Stochastik und verzweifle an der ersten Übungsaufgabe:
"Für eine Folge [mm] A_1 , A_2,... [/mm] von Teilmengen aus [mm]\Omega[/mm] zeige man:
- Bezeichnet [mm] |T| [/mm] die Anzahl der Elemente von [mm]T[/mm] so gilt:
[mm] 1_{A_1 \cup ... \cup A_n} = \sum_{\emptyset \new T \subset \{1,...,n\}} (-1)^{|T|-1} 1_{\bigcap_{i \in T} A_i [/mm]
Hinweis: Die linke Seite ist gleich: [mm] 1 - \produkt_{i=1}^n ( 1 - 1_{A_i} ) [/mm]
so ich will nicht dass ihr meine Hausaufgaben löst aber ich finde überhaupt keinen Ansatz.
Problem 1) Ich bin verwirrt ob T nun den Träger darstellen soll oder ob das eine x-beliebige Teilmenge von {1,....n} ist, ich tendiere zu letzterem
2) Wie ist die Summe zu interpretieren ? Dort stehen keine Indizes. Ich nehm ma an, dass ich über sämtliche möglichen Teilmengen summieren muss ( das wären dann [mm] 2^n [/mm] ?! )
3) Wir haben einige einfache Beispiele vorgeführt bekommen. Daher denke ich dass man wie folgt rangehen muss: linke seite = 1 genau dann wenn [mm] \omega [/mm] aus der Vereinigung der [mm] A_1 [/mm] , .... [mm] A_n [/mm] ist.... usw. dennoch bleibt das ganze ein riesen rätsel für mich. auch der hinweis verwirrt mich mehr als der hilft.
hoffe mir kann jemand helfen.
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mo 25.10.2004 | | Autor: | psjan |
Hi neverm0re,
hier ein paar Denkanstöße. Für eine vollständige Lösung fehlt mir gerade die Zeit. Aber mal zum Deinen Problemen:
1) Da macht es für mich auch nur Sinn, die Teilmengen zu nehmen und nicht den Träger
2) Ja man muss über alle Teilmengen T summieren. Und T ist da auch dann der Index. T nimmt hier dann zwar keine Zahlenwerte an, aber "Mengenwerte" und durchläuft die gesamte Potenzmenge. Kleine Anmerkung: ich denke mal, dass da unter dem Sigma stehen sollte: [mm] $\emptyset \not= [/mm] T$. Das geht zwar, kann man IMHO auch weglassen, da ein Wert [mm] $\emptyset$ [/mm] für T nur einen Summanden=0 liefern würde
3) Der Hinweis -glaube ich- liefert einen Ansatz und zwar wie folgt: Dass die linke Seite gleich der angegebenen Formel mit dem Produkt ist, sieht man sofort, denn sobald ein [mm] $\omega$ [/mm] in einer der Mengen [mm] $A_i$ [/mm] ist, ist die linke Seite =1 und die Formel auch, denn die entsprechende Indikatorfunktion wird =1, dann aber um 1 vermindert und das ganze Produkt wird zu Null. Also bleibt 1-Produkt=1.
Ein möglicher Ansatz wäre also zu zeigen, dass die Formel mit dem Produkt gleich der rechten Seite der Behauptung ist. Das könnte man z.B. mit einer Induktion machen über $n$ machen. Dabei wird es dann nämlich wichtig, dass man die Summe auch bei [mm] $T=\emptyset$ [/mm] starten lassen kann und außerdem gilt: [mm] $1_{A_1, \ldots , A_n} \cdot 1_{A_{n+1}}=1_{A_1, \ldots , A_{n+1}}$.
[/mm]
So, dass soll man als erste Anregung reichen. Vielleicht schafft noch jemand vor mir eine ausführlichere Lösung ...
CU
psjan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo David!
Ich wollte dir schon gestern posten, hatte auch schon alles aufgeschrieben, doch dann ging nichts mehr.
Daher leider jetzt erst der vollständige Induktionsschritt:
$1- [mm] \prod\limits_{i=1}^{n+1} [/mm] (1 - [mm] 1_{A_i})$
[/mm]
$= 1- [mm] (1-1_{A_{n+1}}) \cdot \prod\limits_{i=1}^{n} [/mm] (1 - [mm] 1_{A_i})$
[/mm]
$= 1 - [mm] \prod\limits_{i=1}^{n} [/mm] (1 - [mm] 1_{A_i}) [/mm] + [mm] 1_{A_{n+1}} \cdot \prod\limits_{i=1}^{n} [/mm] (1 - [mm] 1_{A_i})$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} \sum\limits_{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n\}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} [/mm] + [mm] 1_{A_{n+1}} \cdot \left( 1 - \sum\limits_{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n\}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} \right)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n+1\}} \atop {n+1 \notin T}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} [/mm] + [mm] 1_{A_{n+1}} [/mm] - [mm] \sum\limits_{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n\}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} \cdot 1_{A_{n+1}}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n+1\}} \atop {n+1 \notin T}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} [/mm] + [mm] 1_{A_{n+1}} [/mm] - [mm] \sum\limits_{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n\}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T \cup \{n+1\}} A_i} [/mm] $
$= [mm] \sum\limits_{{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n+1\}} \atop {n+1 \notin T}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} [/mm] + [mm] 1_{A_{n+1}} [/mm] + [mm] \sum\limits_{{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n+1\}} \atop {n+1 \in T}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i} [/mm] $
$= [mm] \sum\limits_{\emptyset \ne T \subset \{1,\ldots,n+1\}} (-1)^{|T|-1} \cdot 1_{\bigcap_{i \in T} A_i}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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