Beweis einer Beziehung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 16.06.2004 | | Autor: | cmol |
Hallo!
Komme bei folgender Aufgabe zu keiner Lösung. Wäre super wenn ihr helfen könntet.
Aufgabe:
Beweis oder Gegenbeispiel für folgende Aussage:
Alle reelen Zahlen y,z mit 0<y<z und alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] erfüllen die Beziehung:
[mm] n*y^{n-1} \le \bruch{z^{n}-y^{n}}{z-y}\le n*z^{n-1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 16.06.2004 | | Autor: | cmol |
Hallo Julius!
Vielen Dank schonmal für deine Hilfe! Die Beziehung mit der Summe habe ich noch nicht gekannt und ich schätze mal, dass ich die mit der volltständigen Induktion beweisen könnte. Stimmts?
Irgendwie habe ich aber keine Idee, wie ich das dann nach oben und unten abschätzen kann und damit die Ungleichung beweisen soll.
Sorry, stehe echt am Schlauch und komme so nicht weiter!
Über weitere Tipps wäre ich also sehr Dankbar!
Liebe Grüße!
christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Christian!
> Vielen Dank schonmal für deine Hilfe! Die Beziehung mit der
> Summe habe ich noch nicht gekannt und ich schätze mal, dass
> ich die mit der volltständigen Induktion beweisen könnte.
> Stimmts?
Könnte auch gehen. Einfacher geht es durch direktes Ausmultiplizieren und Umschreiben (Indexshift etc.)
> Irgendwie habe ich aber keine Idee, wie ich das dann nach
> oben und unten abschätzen kann und damit die Ungleichung
> beweisen soll.
> Sorry, stehe echt am Schlauch und komme so nicht weiter!
Was passiert denn, wenn du in jedem einzelnen Summanden $y$ durch $z$ oder umgekehrt $z$ durch $y$ ersetzt?
Na, macht es jetzt ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Do 17.06.2004 | | Autor: | gravy1 |
Hallo!
Kann es nicht sein das man diese Beziehung auch über den Mittelwertsatz beweisen kann?
Wenn man folgendes festlegt sieht es ganz danach aus, oder?
f(z) = [mm] z^n
[/mm]
f(y) = [mm] y^n
[/mm]
dann ist
f'(z) = [mm] n*z^{n-1}
[/mm]
f'(y) = [mm] n*y^{n-1}
[/mm]
und alles wieder zusammen
f'(y) <= (f(z)-f(y)) / (z - y) <= f'(z)
Dann ist ja der mittlere Teil der Mittelwertsatz. Jetzt kann man doch bestimmt irgendwie damit die Beziehung beweisen. Leider weiss ich auch nicht genau wie :-(. Aber vielleicht hat jemand anderes aus dem Forum eine Idee!?
Holger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Do 17.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja klar, so geht es auch. Sehr schön!  Du hast es ja schon vorgemacht. Wir betrachten die Funktion
[mm] $f(x)=x^n$,
[/mm]
dann ist:
$f'(x) [mm] =nx^{n-1}$.
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] ]y,z[$ mit
[mm] $\frac{z^n - y^n}{z-y} [/mm] = [mm] \frac{f(z)-f(y)}{z-y} [/mm] = [mm] f'(\xi) [/mm] = n [mm] \xi^{n-1}$.
[/mm]
Nun folgt aber aus [mm] $y<\xi [/mm] < z$ für $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 1$, die Beziehung [mm] $ny^{n-1} \le [/mm] n [mm] \xi^{n-1} \le nz^{n-1}$ [/mm] und daraus dann die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
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![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]"){kind=small}
