Beweis einer Aussage < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie die Aussage [mm]\integral_{0}^{t}{f(z)u_a(z) dz} = u_a(t)\integral_{a}^{t}{f(z) dz}[/mm] für integrierbare Funktionen f und reelle Zahlen t, a. |
Hallo,
unser Thema ist gerade die L-Trafo und auf dem Aufgabenblatt taucht unter anderem auch diese Aufgabenstellung hier auf. [mm] u_a [/mm] ist dabei die Heaviside-Funktion mit dem "Sprung" an der Stelle a. Ich weiß gar nicht so recht, wie ich für den Beweis ansetzen soll. Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Do 10.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen sie die Aussage [mm]\integral_{0}^{t}{f(z)u_a(z) dz} = u_a(t)\integral_{a}^{t}{f(z) dz}[/mm]
> für integrierbare Funktionen f und reelle Zahlen t, a.
> Hallo,
>
> unser Thema ist gerade die L-Trafo und auf dem
> Aufgabenblatt taucht unter anderem auch diese
> Aufgabenstellung hier auf. [mm]u_a[/mm] ist dabei die
> Heaviside-Funktion mit dem "Sprung" an der Stelle a. Ich
> weiß gar nicht so recht, wie ich für den Beweis ansetzen
> soll. Ich hoffe, ihr könnt mir da weiterhelfen.
Bedenke, dass laut Definition der Heaviside-Funktion gilt:
[mm] u_a(z) = \begin{cases} 0, & z < a \\ 1, & z > a \end{cases} [/mm].
Folglich ist der Integrand [mm] $f(z)u_a(z)$ [/mm] für $z < a$ auch 0, und daher gilt für [mm] $a\ge [/mm] 0$:
[mm] \integral_{0}^{t}{f(z)u_a(z) dz} = \integral_{a}^{t}{f(z)u_a(z) dz} [/mm]
Jetzt überlege dir, was für $a<t$ bzw. $a>t$ passiert!
Viele Grüße
Rainer
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