Beweis einer Abbildung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Es sei eine Abbildung auf R x R gegeben, die durch * : R x R -> R
a*b := a+b+((a*b)/ [mm] \alpha [/mm] definiert ist. [mm] \alpha \not= [/mm] 0
Zeige, dass * assoziativ und kommutativ ist. |
Das assoziativ Gesetz ist ja: (a*b)*c = a*(b*c)
und das kommutativ Gesetz: a+b = b+a oder eben a*b = b*a
Kann mir jemand vielleicht sagen ob ich diese Aufgabe korrekt gemacht habe?? Danke
zum Fall kommutativ:
a+b + [mm] ((a*b)/\alpha) [/mm] = [mm] ((a*b)/\alpha) [/mm] + a+b
(a+b) + [mm] a*b/\alpha \gdw [/mm] a+(b + [mm] (a*b)/\alpha) \gdw [/mm] a+ [mm] ((a*b)/\alpha [/mm] +b) [mm] \gdw (a+(a*b)/\alpha [/mm] )+b [mm] \gdw [/mm] (a+ [mm] (a*b)/\alpha) [/mm] + b
[mm] \gdw a*b/\alpha [/mm] + (a+b) [mm] \gdw ((a*b)/\alpha) [/mm] + a+ b
Bitte um kurze Rückmeldung
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> Es sei eine Abbildung auf R x R gegeben, die durch * : R x
> R -> R
> a*b := a+b+((a*b)/ [mm]\alpha[/mm] definiert ist. [mm]\alpha \not=[/mm] 0
>
> Zeige, dass * assoziativ und kommutativ ist.
> Das assoziativ Gesetz ist ja: (a*b)*c = a*(b*c)
>
> und das kommutativ Gesetz: a+b = b+a oder eben a*b = b*a
>
> Kann mir jemand vielleicht sagen ob ich diese Aufgabe
> korrekt gemacht habe?? Danke
>
> zum Fall kommutativ:
>
> a+b + [mm]((a*b)/\alpha)[/mm] = [mm]((a*b)/\alpha)[/mm] + a+b
Nein, du hast hier nur zwei Summanden vertauscht. Beim Kommutativgesetz werden aber alle a's durcb b's ersetzt und umgekehrt, also:
$a*b = b*a$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $a+b+(a*b)/\alpha [/mm] = [mm] b+a+(b*a)/\alpha$
[/mm]
...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
also könnte ich das wie folgt dann schreiben?
a+b + a*b/ [mm] \alpha [/mm] = [mm] b+a+b*a/\alpha
[/mm]
[mm] a+b+a*b/\alpha \gdw a+(b+a*b/\alpha) \gdw b+(a+a*b/\alpha) \gdw [/mm] b+a + [mm] (b*a/\alpha) \gdw b+a*b*a/\alpha
[/mm]
oder müssen anstatt den [mm] \gdw [/mm] Zeichen ein = Zeichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> also könnte ich das wie folgt dann schreiben?
>
> a+b + a*b/ [mm]\alpha[/mm] = [mm]b+a+b*a/\alpha[/mm]
>
> [mm]a+b+a*b/\alpha \gdw a+(b+a*b/\alpha) \gdw b+(a+a*b/\alpha) \gdw[/mm]
> b+a + [mm](b*a/\alpha) \gdw b+a*b*a/\alpha[/mm]
>
> oder müssen anstatt den [mm]\gdw[/mm] Zeichen ein = Zeichen?
Zwischen zwei Termen (zum Beispiel a+b*a und f(x)), kann ein Gleichheitszeichen (=) stehen, damit entsteht eine Gleichung.
Zwischen zwei Aussagen (zum Beispiel zwei Gleichungen) kann ein Äquivalenzzeichen [mm] ($\gdw$) [/mm] stehen.
$a+b + [mm] a*b/\alpha [/mm] = [mm] b+a+b*a/\alpha$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
$b+a + [mm] a*b/\alpha [/mm] = [mm] b+a+b*a/\alpha$ [/mm] (Kommutativgesetz der Addition)
[mm] \gdw
[/mm]
$b+a + [mm] b*a/\alpha [/mm] = [mm] b+a+b*a/\alpha$ [/mm] (Kommutativgesetz der Multiplikation)
Wir erhalten eine wahre Aussage, da beide Seiten gleich sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, vielen Dank, ersteinmal...
und soll man ja auch noch die assoziativität beweisen.
a+b + [mm] a*b/\alpha [/mm] = [mm] a+(b+a*b/\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a+b) + [mm] a*b/\alpha [/mm] = [mm] a+(b+a*b/\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a+(b + [mm] a*b/\alpha) [/mm] = [mm] a+(b+a*b/\alpha)
[/mm]
Kann man das dann auch so für die Assoziativität machen? Sicherlich doch, oder?
Wir würde man denn jetzt von dieser Aufgabe das Einselement e und Zahlen bestimmen für die ein "Inverses" besteht?
Für das Inverse kann ich doch, bspw. für b ... e einsetzen und die Gleichung dann nach e auflösen! Düfte doch gehen...
Demnach... a*e := a+e + [mm] ae/\alpha
[/mm]
-a-e = [mm] a*e/\alpha [/mm] ... [mm] (*\alpha)
[/mm]
[mm] -\alpha [/mm] *a- [mm] \alpha* [/mm] e = a*e (/a)
[mm] -\alpha [/mm] * a/a - [mm] \alpha [/mm] *e/a = e
[mm] -\alpha [/mm] - [mm] \alpha [/mm] e = e
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Ankh |
Assoziativität:
(a*b)*c = a*(b*c)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $(a+b+a*b/\alpha)$ [/mm] * c = [mm] a*$(b+c+b*c/\alpha)$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
(a+b [mm] +a*b/\alpha) [/mm] *c = [mm] a*(b+c+b*a/\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (b+a + [mm] a*b/\alpha) [/mm] *c = [mm] a*(b+c+b*a/\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (b+a + [mm] b*a/\alpha) [/mm] *c = [mm] a*(b+c+b*a/\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] b* [mm] (a+c+b*a/\alpha) [/mm] = [mm] a*(b+c+b*a/\alpha)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a* [mm] (b+c+b*a/\alpha) [/mm] = [mm] a*(b+c+b*a/\alpha)
[/mm]
So korrekt, oder hab ich irgendwo einen Fehler drinne?
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Hallo,
Du schriebst (kleine Schreibfehler habe ich bereits korrigiert):
(a+b $ [mm] +a\cdot{}b/\alpha) [/mm] $ *c = $ [mm] a*(b+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ (b+a + $ [mm] a\cdot{}b/\alpha) [/mm] $ *c = $ [mm] a*(b+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ (b+a + $ [mm] b\cdot{}a/\alpha) [/mm] $ *c = $ [mm] a*(b+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ b* $ [mm] (a+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $ = $ [mm] a*(b+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ a* $ [mm] (b+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $ = $ [mm] a*(b+c+b\cdot{}c/\alpha) [/mm] $
Den Schritt von der 2. zur 3. Zeile finde ich sehr plötzlich, der wäre erklärungsbedürftig bzw. bedürfte einer Rechnung. (Er ist nicht falsch, aber in einer Hausübung geht er SO gewiß nicht durch.)
Dem Schritt von der 3. zur 4. Zeile kann ich auch nicht folgen, auch hier wäre eine Rechnung nötig.
Zum Vorgehen: das mit den äquivalenten Aussagen finde ich sehr umständlich, wenn es auch nicht falsch ist.
Man will ja zeigen a*(b*c)=(a*b)*c.
Übersichtlicher ist es, mit a*(b*c)=... zu beginnen, und es so lange umzuformen, bis am Ende ...=(a*b)*c dasteht.
Alternativ könnte man a*(b*c) und (a*b)*c ausrechnen und zeigen, daß es gleich ist.
Gruß v. Angela
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Dein Problem ist, dass die neue Verknüpfung mit * geschrieben wird und dieses Zeichen auch in der Rechenvorschrift nochmals vorkommt. Das Ganze wird noch dadurch verschärft, dass der Formelgenerator mal einen Stern und mal einen Malpunkt generiert. Deshalb zur Klarheit:
Ich benutze das Zeichen ° (Grad) für die neue Verknüpfung. Damit gilt:
a°b = [mm] a+b+ab/\alpha.
[/mm]
Assoziativität heißt nun:
a°(b°c)=(a°b)°c und damit
[mm] a°(b+c+bc/\alpha)=(a+b+ab/\alpha)°c [/mm] (im nächsten Schritt siehst du, wie wichtig das neue Zeichen ist:)
[mm] a+(b+c+bc/\alpha)+a(b+c+bc/\alpha)/\alpha=(a+b+ab/\alpha)+c+(a+b+ab/\alpha)*c/\alpha.
[/mm]
Jedesmal, wenn zwischen 2 Gebilden das ° steht, musst du dafür die Summe der beiden + das Produkt der beiden durch [mm] \alpha [/mm] hinschreiben!
Nun kannst du die letzte Gleichung durch normale Rechnung ausmultiplizieren und zeigen, dass beide Seiten gleich sind:
[mm] a+b+c+bc/\alpha+ab/\alpha+ac/\alpha+abc/\alpha^2=a+b+ab/\alpha+c+ac/\alpha+bc/\alpha+abc/\alpha^2, [/mm] was offensichtlich immer stimmt.
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> Dein Problem ist, dass die neue Verknüpfung mit *
> geschrieben wird und dieses Zeichen auch in der
> Rechenvorschrift nochmals vorkommt. Das Ganze wird noch
> dadurch verschärft, dass der Formelgenerator mal einen
> Stern und mal einen Malpunkt generiert.
In der Tat!!!
Ich hatte das extra "verbessert"...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich hatte weiter oben noch kurz gefragt, wie den das Einselement von dieser Aufgabe aussieht bzw. wie die Zahlen heißen, für die ein Inverses besteht...
Bitte um kurze Rückmeldung...
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Sa 28.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Einselement e findest du mit
a°e=a und inverse findest du dann mit a°inv(a)=e
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
muss ich das dann wie folgt verstehn?
Das Einselement ist
a°e=a
da aber gilt a°b = a+b + [mm] ab/\alpha
[/mm]
gilt auch a°e = [mm] a+e+ae/\alpha [/mm] = a
[mm] a+e+ae/\alpha [/mm] = a /-a
[mm] e+ae/\alpha [/mm] = 0 / [mm] *\alpha
[/mm]
e+ae =0
e = -ae
Wenn nach dem Einselement e gesucht ist, müsste das doch so korrekt sein, aber ich bin mir nicht sicher...
wenn ich es weiter vereinfachen würde... käme ja dann letztendlich -1 = a da raus...
Bitte um kurze Rückmeldung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mo 30.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> muss ich das dann wie folgt verstehn?
>
> Das Einselement ist
>
> a°e=a
>
> da aber gilt a°b = a+b + [mm]ab/\alpha[/mm]
>
> gilt auch a°e = [mm]a+e+ae/\alpha[/mm] = a
>
> [mm]a+e+ae/\alpha[/mm] = a /-a
> [mm]e+ae/\alpha[/mm] = 0 / [mm]*\alpha[/mm]
soweit richtig, aber warum nimmst du [mm] e*\alpha=e [/mm] das ist falsch.
also [mm] e*\alpha+ea=0
[/mm]
[mm] e(\alpha+a)=0 [/mm] e=0
Dein Rest ist f
> e+ae =0
> e = -ae
>
> Wenn nach dem Einselement e gesucht ist, müsste das doch so
> korrekt sein, aber ich bin mir nicht sicher...
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
>
> > muss ich das dann wie folgt verstehn?
> >
> > Das Einselement ist
> >
> > a°e=a
> >
> > da aber gilt a°b = a+b + [mm]ab/\alpha[/mm]
> >
> > gilt auch a°e = [mm]a+e+ae/\alpha[/mm] = a
> >
> > [mm]a+e+ae/\alpha[/mm] = a /-a
> > [mm]e+ae/\alpha[/mm] = 0 / [mm]*\alpha[/mm]
> soweit richtig, aber warum nimmst du [mm]e*\alpha=e[/mm] das ist
> falsch.
HIER HAB ICH EIN VERSTÄNDNIS PROBLEM; ICH FINDE DIE STELLE NICHT WO ICH ANSCHEINT E*A=E BERECHNET HABEN SOLL...
> also [mm]e*\alpha+ea=0[/mm]
> [mm]e(\alpha+a)=0[/mm] e=0
> Dein Rest ist f
GRUß BODO 0686
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 30.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die Gleichung [mm] e+ea/\alpha=0 [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] multipliziert und dann geschrieben :
e+ae=0 also hast du e mal Alpha nicht e*A e gesetzt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ja, jetzt hab ichs auch gesehn.... Danke!
Kommen wir jetzt zum letzten Teil der Aufgabe....
wo man die Zahlen bestimmen soll, für die ein Inverses existieren soll...
Ansatz...
a°inv(a)=e
a+inv(a) + [mm] ainv(a)/\alpha [/mm] = e
Muss ich jetzt für inv(a) die Def. von a°e=a ausnutzen?,also mit [mm] a+b+ab/\alpha [/mm] oder ganz gewöhnlich nach folgendem Schema weiter machen?
a+inv(a) + [mm] ainv(a)/\alpha [/mm] = e *(alpha)
[mm] \alpha*a +\alpha [/mm] inv(a) + ainv(a) = [mm] e\alpha [/mm] (für e=0 aus voriger Aufg.)
[mm] \alpha(a [/mm] +inv(a)) + ainv(a) = 0 /- (ainv(a))
[mm] \alpha(a+inv(a) [/mm] ) = - ainv(a) /(a+ainv(a))
[mm] \alpha [/mm] = - ainv(a) / (a+ainv(a))
Bitte um kurze Rückmeldung
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> wo man die Zahlen bestimmen soll, für die ein Inverses
> existieren soll...
Hallo,
ich habe überall wo Du inv(a) geschrieben hast, das durch x ersetzt, weil es für mich übersichtlicher ist.
>
> Ansatz...
Gesucht ist also x mit
>
> a°x=e
>
> a+x + [mm]ax/\alpha[/mm] = e
>
> Muss ich jetzt für x die Def. von a°e=a
> ausnutzen?
Ich weiß nicht so recht was Du meinst.
Was Du hier zunächst machen kannst: Du müßtest irgendwo im Vorhergehenden e=0 errechnet haben (Überprüfe, ob Du das wirklich irgendwo hast.). Das kannst Du einsetzen, denn damit kannst Du vernünftig weiterrechnen.
So: a+x + [mm]ax/\alpha[/mm] = 0
>also mit [mm]a+b+ab/\alpha[/mm] oder ganz gewöhnlich nach
> folgendem Schema weiter machen?
Du machst nun ganz "gewöhnlich" weiter, denn die Verknüpfung ° hast Du inzwischen ja ersetzt durch die ihr zugeordnete Verknüpfungsvorschrift.
>
> a+x+ [mm]ax/\alpha[/mm] = e *alpha
Wenn Du e=0 beachtest, steht da statt
> [mm]\alpha*a +\alpha[/mm] x+ ax = [mm]e\alpha[/mm] (für e=0
> aus voriger Aufg.)
[mm]\alpha*a +\alpha[/mm] x+ ax =0
> [mm]\alpha(a[/mm] +x) + ax = 0 /- (ax)
> [mm]\alpha(a+x[/mm] ) = - ax /(a+ax)
> [mm]\alpha[/mm] = - ax / (a+ax)
Was Du da gemacht hast, ist nicht direkt verkehrt, sofern Du noch irgendwie sicherst, daß Du nicht durch 0 dividierst.
Aber es ist nicht zielorientiert. Du willst doch wissen, welches das zu a inverse Element x ist.
Also mußt Du die Gleichung oben nach x auflösen (und nicht nach [mm] \alpha).
[/mm]
Ich denke, das kriegst Du hin.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 01.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also e=0 aus der vorigen Aufgabe habe ich auch raus 
ich schreib meine LÖ einfach nochmal hin...
ich setzte, dann einfach auch mal wie du, für inv(a) = x
a°inv(a) = e für inv(a) =x gesetzt
a°x = e
[mm] a+x+ax/\alpha [/mm] = e [mm] /(*\alpha)
[/mm]
[mm] a\alpha +x\alpha [/mm] + ax = [mm] e\alpha [/mm] (für e=0 eingesetzt)
[mm] a\alpha +x\alpha [/mm] + ax = 0 (x ausgeklammert)
[mm] x(\alpha [/mm] + a) = [mm] -\alpha [/mm] a
x = [mm] -\alpha [/mm] a / [mm] \alpha [/mm] + a
So eine Lösung hatte ich auch irgendwo mal heraus gehabt...
Is ja eigentlich logisch, wenn ich ein Inverses suche, dass ich dann
nach inv(a) - demnach nach x - auflösen muss...
Danke nochmals...
ich denke, dass müsste ja jetzt so stimmen...
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Bemerkung: Zu [mm] a=-\alpha [/mm] gibt es demnach kein Inverses!
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> x = [mm]-\alpha[/mm] a / [mm]\alpha[/mm] + a
Hallo,
x = [mm]-\alpha[/mm] a / ([mm]\alpha[/mm] + a)
> ich denke, dass müsste ja jetzt so stimmen...
das denke ich auch.
Ob es wirklich stimmt, findest Dz heraus, indem Du nun einmal
a°x berechnst.
Beachte den Hinweis von HJKweseleit!
Gruß v. Angela
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