Beweis e^(x+y) mit AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 So 09.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion [mm] $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] aus der eindeutigen Lösbarkeit eines AWPs. |
Hallo!
Mit $exp(x) = f(x)$ , sei $f(x)=f'(x)$ mit $f(0)=1 $ ein AWP. Ist nun $g(x):= f(-x)f(x)$, dann ist $g'(x) = 0$ und wegen $f(0)=1$ ist $g(x) = f(-x)f(x) = 1$. Sei jetzt q(x) eine weitere Lösung des AWPs. dann muss $g'(x) = [mm] (\frac{f(x)}{q(x)})' [/mm] = [mm] f'(x)(q(x))^{-1} [/mm] - [mm] q'(x)f(x)(q(x))^{-2} [/mm] = 1 $ sein.
Da g(x) konstant, muss $q(x)=cf(x) $ entsprechen. Ist nun q(x) = [mm] e^{x+y} [/mm] = [mm] ce^{x}. [/mm] Mit x=0 folgt [mm] $c=e^{y}$ [/mm] und damit [mm] $e^{x+y}=ce^{x} [/mm] = [mm] e^{y}e^{x}$ [/mm]
Reicht das so?
Bin für jegliche Korrektur sehr dankbar!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mo 10.10.2011 | | Autor: | pemal |
Finde die Aufgabe etwas krank ...
Ich wuerde so argumentieren: Das AWP
[mm] f' = f, \quad f(0)=e^y [/mm]
hat die Loesung [mm] f(x)=e^x e^y [/mm]. Dass die Loesung eindeutig ist, sollst Du bestimmt schon wissen und hier nicht zeigen.
Da [mm] g(x) = e^{x+y} [/mm] wegen der Kettenregel ebenfalls eine Loesung des AWPs ist, muss [mm] f \equiv g [/mm] sein, mithin also
[mm] e^x e^y = e^{x+y} [/mm] fuer alle [mm] x,y [/mm].
Wo kann man schon Differentialgleichungen loesen, kennt aber nicht mal das Additionstheorem der Exponentialfunktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mo 10.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Wo kann man schon Differentialgleichungen loesen, kennt aber nicht mal das > > Additionstheorem der Exponentialfunktion?
man kann nie genug Beweise kennen.
Vielen Dank.
Gruss
kushkush
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