Beweis durch volls. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Pomtom |
| Aufgabe | Beweis mittels vollständiger Induktion:
[mm] 6^n+n \le 7^n (n\in \IN) [/mm] |
Ich habe den Induktionsanfang und die Vorschrift gemacht. Nun bin ich mir beim Induktionsschluss nicht sicher wie ich das genau machen soll!
Ich habe wie folgt angesetzt
[mm] 6^n+1 [/mm] + (n+1) = [mm] 6^n [/mm] * 6 +(n+1)
ist dieser Ansatz sinnvoll?
Bin mir auch nicht wirklich sicher wie ich dann weiter vorgehen soll?
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!!
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Hallo,
Ich würde das ganze anders machen.
Zuerst machst du eine Basis: n = 1 und überprüfst ob die linke und rechte seite stimmt.
Dann erhälst 7 [mm] \ge [/mm] 7
somit hast du ein Induktionsvorrausetzung mit
[mm] 7^n \ge 6^n [/mm] + n
Die Induktionsbehauptung muss so aussehen. Überall wo n sthet setzt du einfach n+1 ein.
[mm] 7^{n+1} \ge 6^{n+1} [/mm] + (n+1)
Der induktionsschritt hast du mit einer Zeile erledigt wenn du beide seiten mit 7 multiplizierst. Wichtig ist das du weißt das du auf der kleiner seite nachgeben kannst um dein ziel zu erreichen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Pomtom |
Ja danke erstmal
genau bis dahin mit dem n+1 komme ich ja aber wie ich das dann beweise da komm ich einfach nicht wneiter! Wie meinst du das mit dem mit 7 multipluzieren? Könntest du das evtl mal zeigen?
Wäre super nett!!> Hallo,
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> Ich würde das ganze anders machen.
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> Zuerst machst du eine Basis: n = 1 und überprüfst ob die
> linke und rechte seite stimmt.
> Dann erhälst 7 [mm]\ge[/mm] 7
> somit hast du ein Induktionsvorrausetzung mit
> [mm]7^n \ge 6^n[/mm] + n
> Die Induktionsbehauptung muss so aussehen. Überall wo n
> sthet setzt du einfach n+1 ein.
> [mm]7^{n+1} \ge 6^{n+1}[/mm] + (n+1)
>
> Der induktionsschritt hast du mit einer Zeile erledigt wenn
> du beide seiten mit 7 multiplizierst. Wichtig ist das du
> weißt das du auf der kleiner seite nachgeben kannst um
> dein ziel zu erreichen.
>
Ja danke erstmal
genau bis dahin mit dem n+1 komme ich ja aber wie ich das dann beweise da komm ich einfach nicht wneiter! Wie meinst du das mit dem mit 7 multipluzieren? Könntest du das evtl mal zeigen?
Wäre super nett!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mo 09.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich würde den Schluß von n auf n+1 so machen:
[mm] $6^{n+1}+(n+1) [/mm] = [mm] 6(6^n+n)+1-5n \le 6*7^n+1-5n= 7*7^n+1-5n-7^n= 7^{n+1}-(7^n+5n-1) \le 7^{n+1}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Pomtom |
> Ich würde den Schluß von n auf n+1 so machen:
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> [mm]6^{n+1}+(n+1) = 6(6^n+n)+1-5n \le 6*7^n+1-5n= 7*7^n+1-5n-7^n= 7^{n+1}-(7^n+5n-1) \le 7^{n+1}[/mm]
>
> FRED
Okay danke dir Fred für die Antwort!!
aber habe da noch ne Frage zu deiner Lösung!
[mm] 6^{n+1}+(n+1) [/mm] = [mm] 6(6^n+n)+1-5n \le 6*7^n+1-5n
[/mm]
wie kommst du auf den teil hinter dem = und dann hinter der klammer also nach dem [mm] 6(6^n+n)? [/mm] also die +1-5n?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Mi 11.11.2009 | | Autor: | glie |
> > Ich würde den Schluß von n auf n+1 so machen:
> >
> > [mm]6^{n+1}+(n+1) = 6(6^n+n)+1-5n \le 6*7^n+1-5n= 7*7^n+1-5n-7^n= 7^{n+1}-(7^n+5n-1) \le 7^{n+1}[/mm]
>
> >
> > FRED
> Okay danke dir Fred für die Antwort!!
> aber habe da noch ne Frage zu deiner Lösung!
> [mm]6^{n+1}+(n+1)[/mm] = [mm]6(6^n+n)+1-5n \le 6*7^n+1-5n[/mm]
> wie kommst
> du auf den teil hinter dem = und dann hinter der klammer
> also nach dem [mm]6(6^n+n)?[/mm] also die +1-5n?
Hallo,
fred hat folgendermaßen umgeformt:
[mm] $6^{n+1}+(n+1)$
[/mm]
n ersetzt durch 6n-5n
[mm] $=6^{n+1}+6n-5n+1$
[/mm]
[mm] $=6*6^n+6*n+1-5n$
[/mm]
6 ausgeklammert
[mm] $=6*(6^n+n)+1-5n$
[/mm]
Gruß Glie
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du kannst auch das machen:
[mm] 7^n \ge 6^n [/mm] + n |*7
7 * [mm] 7^n [/mm] = [mm] 7^{n+1} [/mm] --> Damit bist du mit der linken seite fertig.
Rechts hast du dann
[mm] 6^n [/mm] * 7 --> das ist auf alle fälle größer als 6 [mm] *6^n [/mm] Argo darfst du auf [mm] 6*6^n [/mm] nachgeben und somit hast [mm] 6^{n+1}
[/mm]
6 * n ist n + n + n + n + n + n = da du mit n = 1 angefangen hast muss jedes n größer gleich 1 sein! damit darf ich sagen 5 dieser ns wandle ich in 1 um und lass 1 n stehen und erhalte
n + 5 da 5 größer als 1 ist sag ich das ich noch weiter nachgebe.
Damit kann ich sagen:
[mm] 7^{n+1} \ge 6^{n+1} [/mm] + n + 1
Induktionsschritt geglückt und fertig :)
WICHTIG: Du darfst nur auf der kleiener seite nachgeben niemals auf der größer seite sonst wirds problematisch^^
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