Beweis durch teilverhältnisse < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Do 17.11.2005 | | Autor: | ladyt |
Hallo liebe Mitglieder!
Ich muss dringend eienn beweis mit hilfe von Teilverhältnisse durchführen. Leider komme ich mit meinen ansätzen nicht zum richtigen ergebnis!Ich würde mich über einen Lösungsvorschlag sehr freuen!
hier ist die Aufgabe:In einem Trapez ABCD sind die Strecken Ab und Cd zueinander Paralelll und es gilt: AB=n CD. Beweisen Sie viktoriell: der Schnittpunkt S der Srtecken ACund BD teilt sowohl die Strecke AC als auch die Strecke BD im Verhältnis n:1
Lösungsansatz: Bildung einer Viktoriellen Kette!, Erstellung von Geraden gleichungen von AC und BD,
leider wurde daraus nichts!
Es ist leider etwas kurzfristig, aber ich muss das ergebnis morgen abgeben!
Im Voraus vielen Dank!
tamara
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Hi, Lady,
> hier ist die Aufgabe:In einem Trapez ABCD sind die
> Strecken Ab und Cd zueinander Paralelll und es gilt: AB=n
> CD. Beweisen Sie viktoriell: der Schnittpunkt S der
> Srtecken ACund BD teilt sowohl die Strecke AC als auch die
> Strecke BD im Verhältnis n:1
> Lösungsansatz: Bildung einer Viktoriellen Kette!,
> Erstellung von Geraden gleichungen von AC und BD,
> leider wurde daraus nichts!
Letzteres entspricht ja auch nicht der Aufgabenstellung ("vektoriell" - übrigens auch nicht schlecht, Dein "viktoriell"!)
Du gibst zunächst zwei linear unabhängige Basisvektoren vor,
vielleicht: [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vec{b}.
[/mm]
Dann suchst Du eine geschlossene Vektorkette, die den Punkt S enthält, also z.B.
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] + [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] (***)
Nun musst Du die 3 Vektoren aus dieser Kette durch die Basisvektoren ausdrücken, wobei Du zwei unbekannte Konstante (z.B. p und q) bekommst:
[mm] \overrightarrow{AB} =\vec{a}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BS} [/mm] = [mm] p*\overrightarrow{BD}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}
[/mm]
Also: [mm] \overrightarrow{BS} [/mm] = [mm] p*(\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a})
[/mm]
[mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] q*\overrightarrow{CA}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CA} [/mm] = [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] + [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{n}*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
Also: [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] q*(-\bruch{1}{n}*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b})
[/mm]
Die drei Vektoren setzt Du jetzt wieder in die Vektorkette (***) ein, multiplizierst aus, ordnest nach [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b},
[/mm]
klammerst die beiden Vektoren aus und setzt die beiden entstehenden Klammern=0.
Dann kannst Du p und q ausrechnen (natürlich in Abhängigkeit von n!)
Mach's mal!
mfG!
Zwerglein
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