Beweis durch Vollst. Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hallo ihr mathemenschen,
ich bin leider (noch) keiner, sollte aber langsam einer werden.
das wird gerade versucht, indem man mich grausamerweise aussagen durch vollständige induktion beweisen lässt. bei dieser hier sehe ich aber keinen sinn - und es geht um so wichtige punkte :(.
"Beweisen Sie durch vollständige Induktion folgende Aussage:
[mm] n\in\IN [/mm] ungerade [mm] \Rightarrow [/mm] 8 | [mm] n^2 [/mm] - 1"
dabei würde ich mir mit einer fallunterscheidung im induktionsschritt allein die ungeraden zahlen anschauen - weiß aber schon da nicht, ob ich das so machen darf!? aber wenn "n" gerade ist, interessiert mich die aussage ja erst gar nicht....
nun, in dem fall, in dem "n" ungerade ist, habe ich das problem, dass ich mit dem operator | nicht arbeiten kann - ich weiß da einfach nicht weiter.
könnte mir vielleicht jemand auf die schnelle dabei helfen, mit so einer (für mich) wiederlich aussehenden gleichung den induktionsbeweis zu führen? ich würde mich riesig über hilfe freuen, und wünsche allen einen schönen abend!
liebe grüße
janosch
p.s.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mo 28.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo janosch
> das wird gerade versucht, indem man mich grausamerweise
> aussagen durch vollständige induktion beweisen lässt. bei
> dieser hier sehe ich aber keinen sinn - und es geht um so
> wichtige punkte
Die Aussage hier ist wirklich keine typische für Induktion ,so versteh ich dass du den Sinn nicht siehst, wenn du es direkt zeigen kannst. Aber grausam ist es nicht.
> "Beweisen Sie durch vollständige Induktion folgende
> Aussage:
> [mm]n\in\IN[/mm] ungerade [mm]\Rightarrow[/mm] 8 | [mm]n^2[/mm] - 1"
>
> dabei würde ich mir mit einer fallunterscheidung im
> induktionsschritt allein die ungeraden zahlen anschauen -
> weiß aber schon da nicht, ob ich das so machen darf!? aber
> wenn "n" gerade ist, interessiert mich die aussage ja erst
> gar nicht....
richtig. Du musst also nicht von n nach n+1 gehen, sondern von n nach n+2, der nächsten ungeraden Zahl. wenn du es dann für n=1 und aus n die gültigkeit für n+2 hast gilt es für alle.
1. Schritt: [mm] 1^{2}-1=0 [/mm] ist durch 8 teilbar.
Ind. Vors: für n ungerade gilt 8/ n{2}-1 in Worten: n{2}-1 ist durch 8 teilbar oder (n{2}-1)/8 =m, [mm] m\in \IN
[/mm]
Induktionsschritt : [mm] (n+2)^{2}-1=n{2}-1+4n+4 [/mm] ist durch 8 teilbar, denn nach Indvors. 8|n{2}-1 und es gilt 8|4n+4, denn 4n+4=4*(n+1) und n+1 nach Vors gerade also 2*4|4(n+1)
Wenn ein Teiler 2 Summanden einer Summe teilt, teilt er auch die Summe.
(Der letzte satz ist ur für ganz pimmelige Korrektoren.)
> nun, in dem fall, in dem "n" ungerade ist, habe ich das
> problem, dass ich mit dem operator | nicht arbeiten kann -
> ich weiß da einfach nicht weiter.
Den Operator übersetzt du einfach in Worte.
Also nächstes Mal einfach mit der Induktionsbehauptung losrechnen, die Ind. Vors irgenwie reinbringen, dann ist man fast immer schon fertig.
(Wen man gar keine Idee hat, hilft es manchmal den schritt von 3 auf 4 bzw. den Schritt von 3 auf 5 zu machen, aber die Zahlen stehen zu lassen , also nicht [mm] 5^2 [/mm] sondern [mm] (3+2)^2 [/mm] etc.)
Gruss leduart
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