Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Di 01.07.2008 | | Autor: | rollo |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{k}}{x^{n}}=0 [/mm] |
Aufgabenstellung:
Man beweise: Für jede Zahl x [mm] \in \IR [/mm] mit |x| > 1 und jedes k [mm] \in \IN [/mm] gilt (die Gleichung da oben).
Hinweis: Man setze |x| = 1 + h mit h > 0 und schätze [mm] |x|^{n} [/mm] = (1 + [mm] h)^{n} [/mm] mit dem binomischen Lehrsatz nach unten ab. Dabei berücksichtige man nur den Term [mm] \vektor{n \\ k + 1}*h^{k + 1}.
[/mm]
Bei der Lösung hat der Professor direkt zu Anfang n > 2k vorrausgesetzt. Wie kommt er darauf??
Und müsste man hier nicht die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten benutzen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 01.07.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{k}}{x^{n}}=0[/mm]
> Aufgabenstellung:
>
> Man beweise: Für jede Zahl x [mm]\in \IR[/mm] mit |x| > 1 und jedes
> k [mm]\in \IN[/mm] gilt (die Gleichung da oben).
>
> Hinweis: Man setze |x| = 1 + h mit h > 0 und schätze
> [mm]|x|^{n}[/mm] = (1 + [mm]h)^{n}[/mm] mit dem binomischen Lehrsatz nach
> unten ab. Dabei berücksichtige man nur den Term [mm]\vektor{n \\ k + 1}*h^{k + 1}.[/mm]
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> Bei der Lösung hat der Professor direkt zu Anfang n > 2k
> vorrausgesetzt. Wie kommt er darauf??
k ist eine feste vorgegebene Zahl (so groß dieses k auch vorgegeben wird). Dagegen geht n gegen unendlich und wird damit irgendwann sogar millionenfach größer sein als k.
> Und müsste man hier nicht die verallgemeinerten
> Binomialkoeffizienten benutzen??
Abschätzung nach unten heißt abzuschätzen, wie hoch der Wert mindestens sein muss. Wenn man nur [mm]\vektor{n \\ k + 1}*h^{k + 1}.[/mm] benutzt, ist also der tatsächliche Wert noch größer.
Gruß Abakus
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