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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Druss |
Hallo an alle!
Also ich habe eine Übungsaufgabe, die ich aber von Grund an nicht verstehe und bitte um Hilfe!!
Aufgabe 2.
F¨ur n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne ¯n die Menge der nat¨urlichen Zahlen,
die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa
¯3 = {3, 10, 17, 24, 31, 38 . . .}. Be-
zeichne K := {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6}. Zu ¯n, ¯m ∈ K existiert eine eindeutig bestimmte Zahl
k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} mit n + m ∈ ¯k. Wir definieren ¯n + ¯m := ¯k. Analog sei ¯n · ¯m definiert
durch ¯n · ¯m := ¯', falls n · m ∈ ¯'. Zeigen Sie, dass K mit den so definierten Verkn¨upfungen
+ und · die K¨orperaxiome (1.1)–(1.9) (mit K anstelle von R) erf¨ullt. (Das Rechnen mit
ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.)
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> Hallo an alle!
> Also ich habe eine Übungsaufgabe, die ich aber von Grund
> an nicht verstehe und bitte um Hilfe!!
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> Aufgabe 2.
> F¨ur n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne ¯n die
> Menge der nat¨urlichen Zahlen,
> die bei Division durch 7 den Rest n lassen, also etwa
> ¯3 = {3, 10, 17, 24, 31, 38 . . .}. Be-
> zeichne K := {¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6}. Zu
> ¯n, ¯m ∈ K existiert eine eindeutig bestimmte
> Zahl
> k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} mit n + m ∈ ¯k. Wir
> definieren ¯n + ¯m := ¯k. Analog sei ¯n · ¯m
> definiert
> durch ¯n · ¯m := ¯', falls n · m ∈ ¯'. Zeigen Sie,
> dass K mit den so definierten Verkn¨upfungen
> + und · die K¨orperaxiome (1.1)–(1.9) (mit K anstelle
> von R) erf¨ullt. (Das Rechnen mit
> ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt
> vorausgesetzt.)
>
> ...
Hallo Felix,
das ganze ist möglicherweise ein wenig umständlich
formuliert. Eigentlich geht es nur darum, nachzuweisen,
dass die Menge [mm] \{0,1,2,3,4,5,6\} [/mm] einen Körper bildet,
wenn man die Addition und die Multiplikation modulo 7
reduziert betrachtet.
Bei der Addition gilt dann zum Beispiel:
3+5 = 8 mod 7 = 1
6+4 = 10 mod 7 = 3
Bei der Multiplikation:
3*5 = 15 mod 7 = 1
6*4 = 24 mod 7 = 3
5*6 = 30 mod 7 = 2
Du kannst eine vollständige Additionstabelle und eine
vollständige Multiplikationstabelle aufstellen und daran
dann die Körperaxiome überprüfen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 18.10.2009 | | Autor: | Druss |
hi, danke, jetzt wirds mir etwas klarer, aber wie stell ich dazu den beweis denn her? das ist mir noch unklar
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> hi, danke, jetzt wirds mir etwas klarer, aber wie stell ich
> dazu den beweis denn her? das ist mir noch unklar
Hallo Druss,
nimm dir die komplette Liste der Körperaxiome vor,
entweder aus deinem Skript oder etwa von da:
![[]](/images/popup.gif) Körperaxiome
und gehe sie schrittweise durch. Für die Assoziati-
vität und Kommutativität beider Operationen und
für die Distributivität kann man sich leicht
klar machen, dass sie sich vom Rechnen in [mm] \IZ
[/mm]
auf das Rechnen modulo 7 übertragen. Die Eigen-
schaften der Null und des additiven Inversen lassen
sich ebenfalls leicht bestätigen.
Auch die Eigenschaft der Eins: 1*a=a überträgt
sich vom "gewöhnlichen" Rechnen ins Modulo-Rechnen.
"Neu" gegenüber dem Rechnen in [mm] \IZ [/mm] ist eigentlich
nur die Division bzw. die Existenz (und Eindeutigkeit)
der multiplikativen Inversen. Im Fall n=7 kann man
sich davon anhand der Multiplikationstabelle über-
zeugen. Im Fall n=6 würde dies hingegen nicht funk-
tionieren.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 18.10.2009 | | Autor: | Druss |
hm für welche variablen muss ich das durchgehen?
n, m und noch?
kannst du mir die ersten 2 oder 3 axiome mal zeigen, damit ich sehe wie das geht?
gruß
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> hm für welche variablen muss ich das durchgehen?
> n, m und noch?
Hallo,
wie Du die variablen nennst, ist doch völlig schnuppe.
Fürs Assoziativgesetz brauchst Du natürlich 3 Stück davon.
Nenn sie halt [mm] \overline{a}, \overline{b}, \overline{c}.
[/mm]
Am besten schaust Du Dir nochmal die definition der Addition an. mach Dir klar, daß [mm] \overline{n}+\overline{m}:=\overline{n+m} [/mm] gilt.
Damit ist dann ist schonmal viel gewonnen.
Beispiele: [mm] \overline{6}+ \overline{4}=\overline{6+4}=\overline{3}, \overline{1}+\overline{6}=\overline{7}=\overline{0}.
[/mm]
Die Wertetabellen für + und [mm] \* [/mm] hast du bereits aufgestellt? Du wirst sie später gebrauchen können.
Fürs Assoziativgesetz ist zu zeigen:
[mm] (\overline{a}+\overline{b})+ \overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c}) [/mm] f.a. [mm] \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in [/mm] K.
Jetzt rechne los:
[mm] (\overline{a}+\overline{b})+ \overline{c}=\overline{a+b} +\overline{c}= [/mm] ...
[mm] \overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})=\overline{a}+\overline{b+c} [/mm] =...
(jeden Schritt begründen und darauf zusteuern, daß am Ende beide Male dasselbe dasteht.)
Kommutativgesetz entsprechend. Du kannst Dir zusätzlich auch überlegen, wie man das in der Tabelle erkennen kann.
Neutrales Element: na, welches ist wohl das neutrale Element bzgl. +? Ja wohl [mm] \overline{0}, [/mm] oder?
Rechne vor, daß für alle [mm] \overline{a}\in [/mm] K gilt: [mm] \overline{a}+\overline{0}=\overline{a}.
[/mm]
Inverses Element: hat jedes Element ein Inverses bzgl +?
Du kannst es Dir hier sehr einfach machen, weil die Menge so übersichtlich ist: gib einfach zu jedem Element das Inverse an.
Danach dann noch die Multiplikation - aber jetzt bist erstmal Du dran.
Gruß v. Angela
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