Beweis des Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 10.03.2011 | | Autor: | ggg |
HI Leute,
Ich habe da noch eine kurze Frage zu einem Beweis und zwar zum Beweis des Quotientenkriteriums. Der Satz sollte bekannt sein und den Beweis schreibe ich bis zu der stelle, wo sich meine Frage bezieht.
Beweis.
Wenn eine relle Zahl 0<q<1 existiert mit [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|\le [/mm] q für, so gilt
[mm] |a_{n+1}|\le q*|a_{n}| [/mm]
für alle [mm] n\ge n_{0} [/mm] und mit Induktion sieht man dann, dass
[mm] |a_{n}|\le q*|a_{n-1}|\le q^{2}*|a_{n-2}|\le q^{3}*|a_{n-3}|\le q^{4}*|a_{n-4}|...\le q^{n-n_{0}}*|a_{n_{0}}|.
[/mm]
... q.e.d
Und genau das das sehe ich nicht. Wie wurde diese Induktion ausgeführt. Ich dachte dass in einem Induktionsbeweis die Koeffizienten aufsteigend sind. Das ist hier aber nicht der Fall. Das wäre toll, wenn jemand mir diesen Schritt etwas deutlicher erklären und zeigen könnte.
mfg
Jonas
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Huhu,
ok, es gilt nun also:
$ [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\le [/mm] q$ für [mm] $n\ge n_0$
[/mm]
Sei nun $n > [mm] n_0$, [/mm] d.h. $n-1 [mm] \ge n_0$ [/mm] und daher gilt:
[mm] $\left|\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}\right|\le [/mm] q [mm] \quad \gdw \quad |a_n| \le q*|a_{n-1}|$
[/mm]
D.h. nun gilt:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}|$.
[/mm]
Solange nun $n-1 > [mm] n_0$ [/mm] gilt, kann man analog folgern:
[mm] $|a_{n-1}| \le q*|a_{n-2}|$
[/mm]
Und insgesamt folgt:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}| \le q*(q*|a_{n-2}|) [/mm] = [mm] q^2*|a_{n-2}|$
[/mm]
nächster Schritt wäre jetzt:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}| \le q^2|a_{n-2}| [/mm] = [mm] q^3*|a_{n-3}|$
[/mm]
Soweit erstmal zur Induktion.
Wie weit kann man das nun machen? Da man die Anfangsungleichung ja nur für [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt, kann man also maximal bis $n = [mm] n_0$ [/mm] induktiv runterlaufen, also geht das eben bis:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}| \le q^2|a_{n-2}| [/mm] = [mm] q^3*|a_{n-3}| \le \ldots \le q^{n-n_0}|a_{n - (n-n_0)}| [/mm] = [mm] q^{n-n_0}|a_{n_0}|$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Fr 11.03.2011 | | Autor: | ggg |
Danke für deine ausführliche Erklärung, aber ich habe noch einige offenen Fragen und zwar wie du von Schritt [mm] n>n_0 [/mm] auf Schritt [mm] n-1\ge n_0 [/mm] gekommen. Weiterhin steht oben [mm] n\ge n_0, [/mm] wobei unten n > [mm] n_0 [/mm] steht. Gleiches gilt auch für [mm] n-1\ge n_0. [/mm] Sorry für meine Pingeligkeit, aber ich bin noch ein Anfänger und lasse mich leicht davon verwirren. Deshalb frage ich mich, ob ich da was verpasst habe.
Des Weiteren kann ich den Schritt nicht nachvollziehen [mm] q^{n-n_0}|a_{n - (n-n_0)}| [/mm] = [mm] q^{n-n_0}|a_{n_0}|. [/mm] Wie kommt das [mm] n_0 [/mm] in der Potenz und wieso ist [mm] a_{n - (n-n_0)}
[/mm]
mfg
Jonas
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Huhu,
> wie du von Schritt [mm]n>n_0[/mm] auf Schritt [mm]n-1\ge n_0[/mm] gekommen.
Das ist bei natürlichen Zahlen nunmal so.
Ist n echt grösser als [mm] n_0 [/mm] (d.h. in den natürlichen Zahlen, dass n eben mindestens 1 grösser ist als [mm] n_0), [/mm] dann ist n-1 grössergleich [mm] n_0 [/mm] (d.h., dass n-1 um mindestens 0 grösser ist als [mm] n_0).
[/mm]
Weiterhin steht oben
> Des Weiteren kann ich den Schritt nicht nachvollziehen
> [mm]q^{n-n_0}|a_{n - (n-n_0)}|[/mm] = [mm]q^{n-n_0}|a_{n_0}|.[/mm] Wie kommt
> das [mm]n_0[/mm] in der Potenz und wieso ist [mm]a_{n - (n-n_0)}[/mm]
ok, nochmal langsam: Du hast [mm] a_n [/mm] gegeben und eine Ungleichung, die für $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt, nämlich [mm] $|q_{n+1}| \le q*|a_n|$
[/mm]
Heisst du kannst jetzt induktiv "nach unten" wandern:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}| \le \ldots$
[/mm]
Die Frage ist jetzt, wie weit kannst du nach "unten" laufen. Da die Ungleichung nur für n AB [mm] $a_{n_0}$ [/mm] gilt, nur bis dort, also bis:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}| \le q^{n-n_0}|a_{n_0}|$
[/mm]
Die Frage ist jetzt, warum steht in der Potenz ein [mm] $n-n_0$?
[/mm]
Schauen wir uns mal die ersten Abschätzungen an:
[mm] $|a_n| \le q*|a_{n-1}| \le q^2|a_{n-2} [/mm] $
Es fält auf, dass die Potenz von q gerade der Anzahl der von n
weggelaufenen Schritt entspricht.
Wieviele Schritte sind wir denn gelaufen, wenn wir bei [mm] $a_{n_0}$ [/mm] angekommen sind?
Da gilt: [mm] $n_0 [/mm] = n - (n - [mm] n_0)$ [/mm] sind wir also genau [mm] $(n-n_0)$ [/mm] Schritte gelaufen.
Darum braucht q die Potenz [mm] $n-n_0$.
[/mm]
MFG
Gono.
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