Beweis des Höhensatzes < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In einem Dreieck mit rechtem Winkel in C gilt der Höhensatz:
[mm] h^{2}+p*q
[/mm]
Vektorielle Form des Höhensatzes:
[mm] |\vec{h}|^{2}=|\vec{p}|*|\vec{q}|
[/mm]
Beweise die vektorielle Form des Höhensatzes, indem du zunächst die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] als Summe bzw. Differenz der Vektoren [mm] \vec{h} [/mm] , [mm] \vec{p} [/mm] und [mm] \vec{q} [/mm] ausdrückst und anschließend ausnutzt, dass [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] senkrecht aufeinander stehen. |
Also ich habe mir da was überlegt, und auch zu einem recht schönen Ergebnis gekommen, da die Aufgabe ja schon alles Notwendige verrät. Nun möchte ich nicht alles vorrechnen, wenn es nicht unbedingt nötig ist. Deshalb schreibe ich einfach mein Ergebnis mal:
[mm] \vec{h}^{2} [/mm] = [mm] \vec{p}*\vec{q} [/mm]
Also quasi das Ergebnis nur ohne "Betragstriche".
Kann man mit diesem Ergebnis so argumentieren, dass wenn Vektor p mal Vektor q gleich Vektor h zum Quadrat ist, auch die Beträge dasselbe ausdrücken würden?
Eine kurze Antwort (ja oder nein, oder schreib mal deine Herleitung hin :) genügt.
Vielen Dank,
Mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo squareroot und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> In einem Dreieck mit rechtem Winkel in C gilt der
> Höhensatz:
>
> [mm]h^{2}+p*q[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wahrscheinlich meinst du: [mm] h^{2}=p*q
[/mm]
>
> Vektorielle Form des Höhensatzes:
>
> [mm]|\vec{h}|^{2}=|\vec{p}|*|\vec{q}|[/mm]
>
> Beweise die vektorielle Form des Höhensatzes, indem du
> zunächst die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] als Summe bzw.
> Differenz der Vektoren [mm]\vec{h}[/mm] , [mm]\vec{p}[/mm] und [mm]\vec{q}[/mm]
> ausdrückst und anschließend ausnutzt, dass [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] senkrecht aufeinander stehen.
> Also ich habe mir da was überlegt, und auch zu einem
> recht schönen Ergebnis gekommen, da die Aufgabe ja schon
> alles Notwendige verrät. Nun möchte ich nicht alles
> vorrechnen, wenn es nicht unbedingt nötig ist. Deshalb
> schreibe ich einfach mein Ergebnis mal:
>
> [mm]\vec{h}^{2}[/mm] = [mm]\vec{p}*\vec{q}[/mm]
>
> Also quasi das Ergebnis nur ohne "Betragstriche".
Beim Beweisen kommt es gerade nicht auf das "Ergebnis" an, sondern genau auf den (logisch korrekten) Weg der Argumente.
Daher musst du uns schon zeigen, wie du argumentiert hast, damit wir's beurteilen können.
Nimm diese ![[]](/images/popup.gif) Skizze zu Hilfe, um den Beweis zu führen.
Hier wird allerdings der Beweis ohne Vektoren geführt, deine Aufgabe ist die Verwendung der Vektoren!
>
> Kann man mit diesem Ergebnis so argumentieren, dass wenn
> Vektor p mal Vektor q gleich Vektor h zum Quadrat ist, auch
> die Beträge dasselbe ausdrücken würden?
>
> Eine kurze Antwort (ja oder nein, oder schreib mal deine
> Herleitung hin :) genügt.
>
nein!
Gruß informix
|
|
|
| |
|
Hallo squareroot,
informix hat Recht.
Du hast offenbar Deine Vektoren gerade so angesetzt (was ihre Richtung angeht), dass Du [mm] \vec{h}^2=\vec{p}*\vec{q} [/mm] gilt. (Nebenbei: schön, dass Du Dich direkt mit der Anwendung des Formeleditors auseinandersetzt! Gut lesbare Formeln ermutigen uns Helferlein viel eher als das krause Geschreibsel ohne den Editor).
Wenn [mm] \vec{h}^2=\vec{p}*\vec{q} [/mm] gilt, gilt auch [mm] |\vec{h}|^2=|\vec{p}|*|\vec{q}|. [/mm] Die umgekehrte Richtung gilt aber nicht. Dreh mal einen Deiner Vektoren um, und der ganze Beweis ist nichts mehr wert.
Darum kannst du allgemein nur die geforderte Form mit den Beträgen zeigen, und das reicht auch völlig, um den Höhensatz vektoriell darzustellen.
lg
reverend
|
|
|
|
