Beweis der endlichen Dimension < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | Sei [mm] \phi: V\to [/mm] W eine lineare Abbildung wobei V endlich dimensional ist.
a) Zeigen Sie, dassim [mm] \phi [/mm] endlich dimensional ist und dass dim ( im [mm] \phi) \le [/mm] dim V ist. |
Also bringt es mir einfach mal V mit der Basis [mm] B_{1} [/mm] = [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] und W mit [mm] B_{2} [/mm] = [mm] (w_{1}, [/mm] ..., [mm] w_{m}) [/mm] zu definieren.
DAs Bild müsste doch dann W sein?
Wie gehe ich an diese Aufgabe ran....wie mache ich weiter....ich brauche Tips!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Do 09.12.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Sei [mm]\phi: V\to[/mm] W eine lineare Abbildung wobei V endlich
> dimensional ist.
> a) Zeigen Sie, dassim [mm]\phi[/mm] endlich dimensional ist und
> dass dim ( im [mm]\phi) \le[/mm] dim V ist.
>
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> Also bringt es mir einfach mal V mit der Basis [mm]B_{1}[/mm] =
> [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] und W mit [mm]B_{2}[/mm] = [mm](w_{1},[/mm] ..., [mm]w_{m})[/mm] zu
> definieren.
Für V kannst du tatsächlich so eine Basis betrachten. Das geht, da V endlichdimensional ist. Wenn du die Basis so hinschreibst, ist ja gerade n die Dimension von V. Über die Dimension von W weißt du aber gar nichts, das heißt du kannst nicht einfach so eine Basis hinschreiben!
> DAs Bild müsste doch dann W sein?
Das Bild liegt in W, muss aber natürlich nicht ganz W sein.
> Wie gehe ich an diese Aufgabe ran....wie mache ich
> weiter....ich brauche Tips!
Falls ihr die Dimensionsformel für lineare Abbildungen gemacht habt, so kann man mit dieser die Behauptung sehr leicht zeigen.
Falls nicht, so kannst du mit deiner oben gewählten Basis von V weiterarbeiten. Die Bilder der Basisvektoren von V bilden auf jeden Fall ein Erzeugendensystem des Bildes von [mm] $\phi$. [/mm] Was kannst du damit über die Dimension von $im [mm] (\phi)$ [/mm] aussagen?
Viele Grüße, Lippel
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Ja ok.......die Dimension wäre ja dann auch endlich , da mein span endlich wäre aber wie schreibe ich so etwas ausführlich und exakt mathematisch hin........die Dimensionsformel hatten wir schon müssen wir aber in der nächsten Teilaufgabe folgern.....heißt wahrscheinlich sollten wir sie nicht verwenden.....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist also $ [mm] B_{1} [/mm] $ = $ [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] $ eine Basis von V und somit dim V=n
Dann ist im [mm] \phi [/mm] = span [mm] (\phi(v_1), [/mm] ..., [mm] \phi(v_n))
[/mm]
und es ist dim (span [mm] (\phi(v_1), [/mm] ..., [mm] \phi(v_n))) \le [/mm] n = dim V.
FRED
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