Beweis der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie angegebenen Folgen [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN}
[/mm]
und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert:
[mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] \wurzel{n^{2}+1}-n;
[/mm]
[mm] (b_{n}) [/mm] = [mm] (-1)^{n}*\bruch{n^{2}}{2n^{2}+5} [/mm] |
So die erste Aufgabe ist die Grenzwertbestimmung relativ leicht wenn man n aus der klammer zieh:
[mm] (a_{n})= n*\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+1}-n;
[/mm]
wenn man dann den Grenzwert berrechnen will ergibt sich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{\bruch{1}{n^{2}}+1}-\limes_{n\rightarrow\infty}n
[/mm]
= 0
Reicht das fuer Untersuchung auf Konvergenz aus oder muss ich trotzem noch zeigen das die Funktion Monoton fallend und durch 0 beschraenkt ist?
Diese beiden Beweise machen mir naemlich Probleme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 So 13.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo robin!
Das reicht so nicht aus, da Du hier folgenden Sachverhalt unterstelltst: [mm] $\infty-\infty [/mm] \ = \ 0$ .
So einfach ist das aber nicht. Dieser Ausdruck [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ist unbestimmt, dessen Wert nicht einfach so anzugeben ist.
Erweitere den Term für die Folge [mm] $a_n$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel mit [mm] $\left( \ \wurzel{n^2+1} \ \red{+} \ n \ \right)$ [/mm] und vereinfache.
Anschließend kannst Du Deinen Umformungsschritt mit $n_$ ausklammern im Nenner anwenden.
Gruß
Loddar
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also:
[mm] a_{n}=\bruch{(\wurzel{n^{2}+1}-n)(\wurzel{n^{2}+1}+n)}{\wurzel{n^{2}+1}+n}
[/mm]
das heisst im limes kommt im endeffekt raus:
[mm] \bruch{(\infty-\infty*1)(\infty+\infty*1)}{\infty+\infty}
[/mm]
und das ist definiert als 0? Warum ist das so?
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Ach ich bin aber auch eine Gemuese, binomische Formel 2 Wurzeln und ich checks nicht bei der umformung kommt raus
[mm] \bruch{n^{2}+1-n^{2}}{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}+n}
[/mm]
davon der limes ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{\infty}
[/mm]
und das ist ja bekanntlich 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ach ich bin aber auch eine Gemuese, binomische Formel 2
> Wurzeln und ich checks nicht bei der umformung kommt raus
>
> [mm]\bruch{n^{2}+1-n^{2}}{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}+n}[/mm]
Ja
>
> davon der limes ist:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{\infty}[/mm]
> und das ist ja bekanntlich 0
So einfach ist das noch nicht. Man sihet noch nicht sofort, dass der erste Summand im Nenner gegen [mm] \infty [/mm] geht.
[mm] $\bruch{n^{2}+1-n^{2}}{n*\wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}+n}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{n^{2}+1-n^{2}}{n\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n^{2}}}+1\right)}$
[/mm]
Marius
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Nun zur b) die Funktion osziliert da [mm] -1^{n} [/mm] abwechselnd das Vorzeichen wechselt und der bruch fuer alle [mm] n\in\IN [/mm] groesser als 0 ist.
Das heisst die folge ist nicht monoton folgend und daher auch nicht konvergent. Gibt es eine mathematische schreibweise das auszudruecken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Folge hat zwei sogenannte Häufungspunkte
Es gilt:
[mm] \frac{n^{2}}{2n^{2}+5}=\frac{1}{2+\frac{5}{n^{2}}}
[/mm]
Also läuft
[mm] \frac{(-1)^{n}}{2+\frac{5}{n^{2}}} [/mm] gegen -... oder gegen +....
Marius
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Achso wir hatten Gelernt das Folgen Konvergent sind wenn sie
a) nach oben beschraenkt,
und monoton steigend sind.
oder
b) nach unten beschraenkt
und monoton fallend sind.
aber anscheinend scheinend gibt es noch das kriterium das sie
c) nach unten und nach oben beschraenkt welches ein notwendiges aber kein hinreichendes kriterium ist? Und in diesem Fall muss die Konvergenz / Divergenz auf anderem Wege bewiesen werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Achso wir hatten Gelernt das Folgen Konvergent sind wenn
> sie
>
> a) nach oben beschraenkt,
> und monoton steigend sind.
>
> oder
>
> b) nach unten beschraenkt
> und monoton fallend sind.
Das ist auch korrekt.
>
> aber anscheinend scheinend gibt es noch das kriterium das
> sie
>
> c) nach unten und nach oben beschraenkt welches ein
> notwendiges aber kein hinreichendes kriterium ist? Und in
> diesem Fall muss die Konvergenz / Divergenz auf anderem
> Wege bewiesen werden?
Sorry, da habe ich dich wahrscheinlich verwirrt. Ich habe meine Antwort auch nochmal korrigiert. Die zweite Folge hat zwei sogenannte  Häufungspunkte.
Marius
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Ah ok, das heisst die Folge an sich ist nicht Konvergent sondern hat zwei Konvergente teilfolgen:
[mm] (b_{n})_{n=2k, k\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n=2k+1, k\in\IN}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ah ok, das heisst die Folge an sich ist nicht Konvergent
Ja, sie hat eben die Häufungspunkte
> sondern hat zwei Konvergente teilfolgen:
Ja
>
> [mm](b_{n})_{n=2k, k\in\IN}[/mm] und [mm](b_{n})_{n=2k+1, k\in\IN}[/mm]
So kann man diese aber nicht aufschreiben. Besser wäre:
[mm] (-1)^{n}\cdot{}\bruch{n^{2}}{2n^{2}+5} =\begin{cases} \bruch{n^{2}}{2n^{2}+5} , & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\
\bruch{-n^{2}}{2n^{2}+5} , & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Marius
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Da die Monotonie ein notwendiges Kriterium der Konvergenz ist kann ich doch einfach an konkreten Beispielen durch Kontraposition beweisen, das die Folge weder monoton steigend noch monoton fallend ist. Wodurch ich dann auch bewiesen haette das die Folge nicht Konvergent ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Da die Monotonie ein notwendiges Kriterium der Konvergenz
> ist kann ich doch einfach an konkreten Beispielen durch
> Kontraposition beweisen, das die Folge weder monoton
> steigend noch monoton fallend ist. Wodurch ich dann auch
> bewiesen haette das die Folge nicht Konvergent ist oder?
Korrekt, aus "Nicht-Monotonie" folgt "Nicht-Konvergenz".
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 13.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Nun zur b) die Funktion osziliert da [mm]-1^{n}[/mm] abwechselnd das
> Vorzeichen wechselt und der bruch fuer alle [mm]n\in\IN[/mm]
> groesser als 0 ist.
> Das heisst die folge ist nicht monoton folgend und daher
> auch nicht konvergent. Gibt es eine mathematische
> schreibweise das auszudruecken?
Der passende Begriff ist hier mehrfach gefallen, es sind .... H......spunkte.
Marius
P.S.: Einfach so eine Frage wieder auf unbeatwortet zu stellen, ist nicht wirklich hilfreich.
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Tut mir, lied Marius. Ich dachte wenn ich auf die Frage kann noch nicht als beantwortet klicke kann ich automatisch eine Gegenfrage stellen. In der ich erlauetern kann warum die Frage fuer mich noch nicht beantwortet ist.
Vielen Dank auf jeden Fall fuer deine zahlreiche und schnell Hilfe!
Gruss Robin
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Fasse obigen Term zunächst (und insbesondere im Zähler) zusammen.
