Beweis, dass Kugel offen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo nochmal,
arbeite gerade den Forster zum Thema offene Mengen durch. Eines der von Forster aufgeführten Beispiele ist mir nicht ganz klar:
Sei X ein beliebiger metrischer Raum, a [mm] \in [/mm] X und r > 0. Dann ist [mm] B_r(a) [/mm] offen (im Sinn der obigen Dimension). Denn sei x [mm] \in B_r(a), [/mm] dann ist:
[mm] \varepsilon [/mm] := r - ||x,a|| > 0
und aus der Dreiecksungleichung folgt [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset B_r(a).
[/mm]
Was der Gute mit "im Sinn der obigen Dimension" meint ist mir total schleierhaft. Über dem Beispiel ist nur aufgeführt, dass ]a, b[ auch offen ist...
Aber viel fragwürdiger finde ich, wie er die Dreiecksungleichung anwendet um auf die Folgerung zu kommen...
Sieht das von euch jemand?
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> Hallo nochmal,
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> arbeite gerade den Forster zum Thema offene Mengen durch.
> Eines der von Forster aufgeführten Beispiele ist mir nicht
> ganz klar:
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> Sei X ein beliebiger metrischer Raum, a [mm]\in[/mm] X und r > 0.
> Dann ist [mm]B_r(a)[/mm] offen (im Sinn der obigen Dimension). Denn
> sei x [mm]\in B_r(a),[/mm] dann ist:
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> [mm]\varepsilon[/mm] := r - ||x,a|| > 0
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> und aus der Dreiecksungleichung folgt [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset B_r(a).[/mm]
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> Was der Gute mit "im Sinn der obigen Dimension" meint ist
> mir total schleierhaft.
Ich besitze das Buch zwar nicht, aber ich nehme an, dass er zuvor eine Menge $M$ als offen definiert hat, falls es für alle [mm] $x\in [/mm] M$ ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt, so dass [mm] $B_\varepsilon(x)\subseteq [/mm] M$ gilt.
Und genau diese Eigenschaft weist er mit dem obigen Argument für $M := [mm] B_r(a)$ [/mm] in der Tat nach, denn es ist für [mm] $x\in B_r(a)$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] := r-d(x,a)$ ($>0$) sowie [mm] $y\in B_\varepsilon(x)$:
[/mm]
[mm]d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)< \varepsilon+d(x,a) = r-d(x,a)+d(x,y)=r[/mm]
also ist [mm] $y\in B_r(a)$, [/mm] was zu zeigen war.
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