Beweis bei Körpern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | FIN10 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei $K$ ein Körper, $0$ die Null und $1$ die Eins von $K$.
Im Allgemeinen ist die Menge $\IN=\{0,1,2,\ldots\}$ nicht in $K$ enthalten! Es wird zu jedem $n \in \IN$ für jedes $a \in K$ das natürliche Vielfache $n \times a$, das $n$-fache von $a$, definiert:
$n\times a=\begin{cases} 0 & \mbox{für } n=0 \\ ((n-1) \times a) + a & \mbox{für } n=1,2,3,\ldots}\end{cases}$
Beweisen Sie:
a) Ist $a \in K$ und $n \in \IN$, so ist $-(n \times a) = n \times (-a)$.
b) Sind $a,b \in K$ und $n \in \IN$, so ist $n \times (a+b) = ( n \times a ) + ( n \times b)$. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für mich sind die Schlussfolgerungen logisch, doch ich weiß nicht, wie ich sie beweisen soll!
Kann mir vielleicht jmd helfen?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Do 18.11.2010 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Für mich sind die Schlussfolgerungen logisch, doch ich
> weiß nicht, wie ich sie beweisen soll!
> Kann mir vielleicht jmd helfen?
Also für mich sind sie auf den ersten Blick noch nicht unbedingt logisch - beachte vor allem, dass [mm]n[/mm] ja gar nicht im Körper liegt....
Nachdem man hier ja irgend etwas für alle [mm]n \in \IN[/mm] zeigen soll ist es schon mal naheliegend, hier mit vollständiger Induktion zu arbeiten. Versuch es doch einmal damit.
Zu Aufgabe a) würde ich vorschlagen, dass Du zeigst, dass [mm]-(n\times a) + (n \times (-a)) = 0 \quad \forall n \in \IN[/mm].
Die b) geht per Induktion eigentlich ganz gerade durch.
Du kannst ja gerne Deine Ansätze hier nochmal posten.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 18.11.2010 | | Autor: | FIN10 |
Für die Aufgabe hätteich jetzt folgende Überlegungen:
a) -(n x a) =n x (-a)
=> -(n x a) - (n x (-a)) = 0
=> lt. Definition
=> 0 x a - 0 x a = 0
=> 0 = 0
b) n x (a+b) = (n x a) + (n x b)
für n = 1
=> 1 x (a+b) = (1 x a) + (1 x b)
=> a + b = a + b
für n = k+1
=> (k+1) x (a+b) = ((k+1) x a) + ((k+1) x b)
=> (k x a + a)+(k x b + b) = (k x a + a) +(k x b + b)
Wäre das so ungefähr richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Do 18.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du benutzt die Def von n*a ja nirgends (oder ich seh es nicht!)
a) Beh -7=7
-7-7=0
lt. def
0*(-7)+0*(-7)=0
0=0
bei b) wo hast du die ind. Vors benutzt?
ich seh zumindest keine Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 18.11.2010 | | Autor: | FIN10 |
stimmt, bei a hab ich es vergessen mit hinzuschreiben. Das war eine Zwischenzeile, die ich vergessen habe.
Bei b habe ich mir extra ein Buch zur Hand genommen und versucht danach die Induktion durchzuführen, aber so ganz sehe ich da eben nicht durch. Es geht ja darum, zu zeigen, dass die Gleichung für alle n gilt. Daum habe ich erst 1 eingesetzt und dann k+1. So war es in dem Beispiel im Buch beschrieben. Also habe ich es wohl noch nicht recht verstanden. Wie müsste ich denn demnach richtigerweise vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 18.11.2010 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
bleiben wir erst mal bei b), wenn Du da sauber durch bist klappt vielleicht auch a) besser.
> Bei b habe ich mir extra ein Buch zur Hand genommen und
> versucht danach die Induktion durchzuführen, aber so ganz
> sehe ich da eben nicht durch. Es geht ja darum, zu zeigen,
> dass die Gleichung für alle n gilt.
Korrekt.
> Daum habe ich erst 1 eingesetzt
Wenn ich mir die Aufgabenstellung durchlese soll die 0 aber auch zu den natürlichen Zahlen gehören - also fange besser mit 0 an und zeige, dass die Behauptung für n=0 richtig ist (-> Induktionsanfang).
> und dann k+1. So war es in dem Beispiel im Buch
> beschrieben. Also habe ich es wohl noch nicht recht
> verstanden. Wie müsste ich denn demnach richtigerweise
> vorgehen?
Wenn wir jetzt voraussetzen, dass die Behauptung für n=k gilt (Induktionsannahme), dann musst Du nur noch zeigen, dass sie dann auch für n=k+1 gilt (Induktionsschluss) und schon ist die Behauptung für alle n gezeigt: Für 0 ist sie richtig, dann gilt sie auch für 0+1=1 und dann auch für 1+1=2 usw.
> für n = k+1
> => (k+1) x (a+b) = ((k+1) x a) + ((k+1) x b)
> => (k x a + a)+(k x b + b) = (k x a + a) +(k x b + b)
Die Umformung auf der rechten Seite verstehe ich, denn das ist ja gerade die Definition von [mm] $(k+1)\times [/mm] a$. Aber auf der linken Seite sehe ich noch nicht, warum [mm] $(k+1)\times [/mm] (a+b) = (k [mm] \times [/mm] a + a) + (k [mm] \times [/mm] b + b)$ sein soll. Versuche diese Gleichheit einmal durch mehrere einfache Umformungen zu zeigen, wobei Du bei jedem Schritt angibst, welche Regel oder Definition du gerade benutzt. Dabei darfst Du die Definition von [mm] $n\times [/mm] a$ und die Körperaxiome (edit: und natürlich die Induktionsannahme [mm] $k\times [/mm] (a+b) = [mm] k\times [/mm] a + [mm] k\times [/mm] b$) verwenden. Beachte aber, dass für [mm] $\times$ [/mm] kein Distributivgesetzverwenden darst, denn [mm] $\times$ [/mm] ist ja nicht die Multiplikation in K sondern irgenwas anderes.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 18.11.2010 | | Autor: | FIN10 |
Also ich habe jetzt für n = 0
0 x (a+b) = ( 0 x a) + ( 0 x b)
( 0 x a) + ( 0 x b) = ( 0 x a) + ( 0 x b) [mm] \Rightarrow [/mm] laut Definition
0 + 0 = 0 + 0
0=0
für n = 1 wie gehabt
und für n= k+1:
(k + 1) x (a + b) = (( k + 1) x a) + ((k + 1) x b)
((k x a)+ (1 x a)) + ((k x b) + (1 x b))= ((k x a)+ (1 x a)) + ((k x b) + (1 x b))
und daran sehe ich doch, dass es gleich ist. Nur weiß ich immer nicht, welches Gesetz ich gerade verwende oder verwenden soll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du verwendest einfach das Distributivgesetz für das [mm] \times, [/mm] das du ja gerade beweisen willst.
Verwenden darfst du:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0 x a := 0 \\
n x a := ((n-1)x a) + a & \mbox{für n=1,2,3,...}\end{cases} [/mm]
und weiter nichts.
> Also ich habe jetzt für n = 0
>
> 0 x (a+b) = ( 0 x a) + ( 0 x b)
jetzt einfach nicht Distributivges. sondern nach Def ist 0 x (a+b)=0 und die 2 Terme rechts auch.
also einfach 0=0+0
> ( 0 x a) + ( 0 x b) = ( 0 x a) + ( 0 x b) [mm]\Rightarrow[/mm] laut
> Definition
> 0 + 0 = 0 + 0
> 0=0
>
> für n = 1 wie gehabt
brauchst du nicht, aber wenn dann nicht wie du, sondern mit der Def oben in der du n=1 einsetzt!
> und für n= k+1:
jetz wirklich erst die Ind.vors für k hinschreiben, dann die Def explizit benutzen um auf k+1 zu kommen!
Gruss leduart
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