Beweis aufstellen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei f : [0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1] stetig. Zeigen Sie, dass die Menge Fix(f) := {x [mm] \in [/mm] [0, 1] | f(x) = x}
nicht-leer ist. |
Hallo.
Ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht klar. Ich sehe das bestimmt zu einfach. Ich habs jetzt so gemacht:
Vor: f : [0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] stetig
Beh: Fix(f) := {x [mm] \in [/mm] [0, 1] | f(x) = x}nicht-leer
Bew: Sei a=0 und b=1 (also a < b). Nach Vor. ist f stetig. Nun gilt:
f(0) = 0
f(1) = 1
Daraus folgt: f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)
OE sei f(a) < f(b) (sonst Übergang zu -f)
Nach dem Zwischenwertsatz nimmt f jeden Wert zwischen f(0) und f(1) mind. einmal an. Daraus folgt: Fix(f) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Kann mir bitte jemand helfen?
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> Sei f : [0, 1] [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0, 1] stetig. Zeigen Sie, dass die
> Menge Fix(f) := {x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0, 1] | f(x) = x}
> nicht-leer ist.
> Hallo.
>
> Ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht klar. Ich sehe
> das bestimmt zu einfach. Ich habs jetzt so gemacht:
>
> Vor: f : [0,1] [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1] stetig
>
> Beh: Fix(f) := {x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0, 1] | f(x) = x}nicht-leer
Also anders gesagt $\exists x^\star : f(x^\star )=x^\star$
>
> Bew: Sei a=0 und b=1 (also a < b). Nach Vor. ist f stetig.
> Nun gilt:
>
> f(0) = 0
> f(1) = 1
>
> Daraus folgt: f(a) [mm]\not=[/mm] f(b)
>
> OE sei f(a) < f(b) (sonst Übergang zu -f)
Wieso auf einmal wieder allgemein? 0<1 gilt doch. bei dir ist doch f(a)=0 und f(b)=1. Das ist ein bisschen durcheinander.
>
> Nach dem Zwischenwertsatz nimmt f jeden Wert zwischen f(0)
> und f(1) mind. einmal an. Daraus folgt: Fix(f) [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Kann mir bitte jemand helfen?
Probier das mal anders. Du brauchst ja eigentlich nur zeigen, dass es ein x gibt mit [mm] $g(x)=f(x)-x=0\;$. [/mm] Wobei du halt $g(x)=f(x)-x$ einfach so definierst. g ist auch stetig.
Jetzt hilft dir der Satz von Rolle Zwischenwertsatz angewendet auf g weiter. Ich glaube das geht schneller.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für die Antwort.
War meins denn falsch?
Ich versuchs jetzt aber auch mal so wie von dir vorgeschlagen.
Ich definiere g(x) := f(x) - x
g ist auch stetig, da f stetig und x stetig und die Summe ist wieder stetig
Ok, Satz von Rolle.
Erst wieder die nötigen Vor.
a,b [mm] \in \IR
[/mm]
a < b
g stetig (s.o.)
g|(a,b) differenziebar (wie zeigt man das?)
f(a)=f(b)
Und wie kann man da jetzt fortfahren? Inwiefern bringt mir der Satz von Rolle was?
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Jetzt habe ich es vergurkt. Der Zwischenwertsatz war völlig richtig. Trotzdem ist es besser die Funktion g(x) zu betrachten.
Sei I ein Intervall I=[a,b]. Mit f(a)>a und f(b)<b. Sollte ja so sein, sonst wäre f(a)=a in Fixpunkt.
Dann ist aber g(a)=f(a)-a>0 und g(b)=f(b)-b<0
Jetzt Zwischenwertsatz. Is ja peinlich. Wirklich noch einmal sorry.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 19.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach, jeder kann sich mal vertun. ;) Ich bin dir ja dankbar, dass du mir hilfst.
Aber im Prinzip braucht man doch nur noch am Ende auf den ZWS zu verweisen?
> Mit f(a)>a und f(b)<b. Sollte ja so sein, sonst wäre f(a)=a in Fixpunkt.
Kannst du mir das vllt nochmal erklären. Was ich z.B. nicht verstehe. Wenn doch das Intervall [0,1] gegeben ist, dann könnte man doch auch f(0) = 0 ausrechnen. Folglich hätte man dann doch schon gezeigt, dass die Menge Fix(f) nichtleer ist. Ich versteh da bestimmt irgendwas falsch. Kannst du mir da weiterhelfen?
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Wir brauchen ja nur die Existenz eines Fixpunktes beweisen, damit die Menge der Fixpunkte nicht leer ist.
Es gibt doch zwei Fälle:
1. Fall
f(0)=0 und/oder f(1)=1. Dann ist alles klar. Wir haben einen Fixpunkt gefunden.
2. Fall
f(0) liegt irgendwo im Intervall [0,1] und f(1) liegt irgendwo im Intervall [0,1]. Die Funktion f bildet ja von [0,1] auf [0,1] ab. Hier bei gilt immer 0<f(0) und f(1)<1. Da wir ja schon ausgeschlossen haben, das f(0)=0 gilt und ausgeschlossen haben, dass f(1)=1 gilt.
Wegen den Ungleichungen gilt ja
[mm] $0
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