Beweis Äquivalenzrelation < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:22 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Shaya |
Hallo ihr, ich bräuchte mal eure hilfe bei ner aufgabe
In [mm] \IN_{0} [/mm] x [mm] \IN_{0} [/mm] ( [mm] \IN_{0} [/mm] = [mm] \IN \cup\ [/mm] {0}) sei die Relation ~ definiert durch
(a1,a2)~b1,b2) : [mm] \gdw [/mm] a1-a2=b1-b2
Beweisen sie, das diese Relation eine Äquivalenzrelation ist!
Geben sie 3 Äquivalenzklassen an und interpretieren sie das Ergebnis!
komme damit grad nicht klar
klar ich muss wegen Symetrie,Reflexivität und Transitivität schauen, aber wie?
das kommt davon wenn man krank ist.......
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> In [mm]\IN_{0}[/mm] x [mm]\IN_{0}[/mm] ( [mm]\IN_{0}[/mm] = [mm]\IN \cup\[/mm] {0}) sei die
> Relation ~ definiert durch
>
> (a1,a2)~b1,b2) : [mm]\gdw[/mm] a1-a2=b1-b2
>
> Beweisen sie, das diese Relation eine Äquivalenzrelation
> ist!
> Geben sie 3 Äquivalenzklassen an und interpretieren sie
> das Ergebnis!
>
>
> komme damit grad nicht klar
>
> klar ich muss wegen Symetrie,Reflexivität und Transitivität
> schauen, aber wie?
> das kommt davon wenn man krank ist.......
Ich mache dir mal die Symmetrie - die Reflexivität ist einfacher, die Transitivität evtl. etwas schwieriger...
Also, bei der Symmetrie muss ja gelten:
aus [mm] (a_1,a_2)\sim(b_1,b_2) [/mm] folgt [mm] (b_1,b_2)\sim(a_1,a_2)
[/mm]
Nun bedeutet [mm] (a_1,a_2)\sim(b_1,b_2) [/mm] nichts anderes als [mm] a_1-a_2=b_1-b_2 [/mm] (nach Definition), nun ist das aber genau dasselbe, wie wenn ich schreibe: [mm] b_1-b_2=a_1-a_2, [/mm] und das wiederum ist nach Definition genau [mm] (b_1,b_2)\sim(a_1,a_2).
[/mm]
Probierst du es nun mal mit den anderen beiden Eigenschaften?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Do 24.11.2005 | | Autor: | Shaya |
danke, ich denke jetzt sollte ich es hinbekommen
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wenn ich mal reflexivität und transitivität nachweisen dürfte:
reflexivität:
es muss gelten
(a1,a2)~(a1,a2) und (b1,b2)~(b1,b2)
offensichtlich ist das richtig ,denn
a1-a2=a1-a2 und b1-b2=b1-b2 (und sind somit erfüllt)
transitivität:
sei (a1,a2)~(b1,b2) und (b1,b2)~(c1,c2)
dann muss gelten (a1,a2)~(c1,c2),was nun gezeigt werden soll:
entsprechend also ,dass aus a1-a2=b1-b2 und b1-b2=c1-c2
daraus folgt a1-a2=c1-c2 und das ist per definition
(a1,a2)~(c1,c2)(und ist somit erfüllt)
ich möchte nichts falsches schreiben und
hoffe jemand kann dies überprüfen und entweder bestätigen oder
widerlegen.vielen dank im voraus.
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Hallo pumpernickel,
ich finde es total lustig, wenn jemand noch was zu so alten Aufgaben schreibt. Also lustig in dem Sinne, als dass ich dann meine alten Antworten nochmal lese und an alte Aufgaben erinnert werde. 
> wenn ich mal reflexivität und transitivität nachweisen
> dürfte:
> reflexivität:
> es muss gelten
> (a1,a2)~(a1,a2) und (b1,b2)~(b1,b2)
Es reicht, die Reflexivität für ein Element zu zeigen. Da du ja ein beliebiges nimmst, gilt die Reflexivität dann auch für alle Elemente, du benötigst hier also nur: [mm] (a_1,a_2)~(a_1,a_2), [/mm] und [mm] (b_1,b_2)~(b_1,b_2) [/mm] kannst du dir sparen! 
> offensichtlich ist das richtig ,denn
> a1-a2=a1-a2 und b1-b2=b1-b2 (und sind somit erfüllt)
>
> transitivität:
> sei (a1,a2)~(b1,b2) und (b1,b2)~(c1,c2)
> dann muss gelten (a1,a2)~(c1,c2),was nun gezeigt werden
> soll:
> entsprechend also ,dass aus a1-a2=b1-b2 und b1-b2=c1-c2
> daraus folgt a1-a2=c1-c2 und das ist per definition
> (a1,a2)~(c1,c2)(und ist somit erfüllt)
> ich möchte nichts falsches schreiben und
> hoffe jemand kann dies überprüfen und entweder bestätigen
> oder
> widerlegen.vielen dank im voraus.
Ansonsten ist das alles richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Bastiane
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