Beweis Zwischenwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend! 
Ich habe Fragen zum Beweis des Zwischenwertsatzes.
Im Forster steht der Satz wie folgt geschrieben:
Satz: Sei f :[a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(a) < 0 und f(b) > 0 (bzw. f(a) > 0 und f(b) < 0). Dann existiert ein p [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(p) = 0.
Beweis: Man benutze die Intervall-Halbierungsmethode. Sei f(a) < 0 und f(b) > 0. Man definiere induktiv eine Folge [mm] [a_n, b_n] \subset [/mm] [a,b], [mm] n\in\IN, [/mm] von Intervallen mit folgenden Eigenschaften:
(1) [mm] [a_n, b_n] \subset [a_{n-1},b_{n-1}] [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1
(2) [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{-n}(b-a)
[/mm]
(3) [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0.
Induktionsanfang: Man setze [mm] [a_0, b_0] [/mm] := [a,b]
Induktionsschritt: Sei das Intervall [mm] [a_n, b_n] [/mm] bereits definiert und sei m:= [mm] \frac{a_n + b_n}{2} [/mm] die Mitte des Intervalls. Es können nun zwei Fälle auftreten:
1. Fall: f(m) [mm] \ge [/mm] 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].
2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n].
[/mm]
Es sind offenbar wieder die Eigenschaften (1) - (3) für n+1 erfüllt. Es folgt, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt und die Folge [mm] (b_n) [/mm] monoton fallend und beschränkt ist. Also konvergieren beide Folgen und wegen (2) gilt
[mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] lim_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] =: p.
Aufgrund der Stetigkeit von f ist lim [mm] f(a_n) [/mm] = lim [mm] f(b_n) [/mm] = f(p). Aus (3) folgt wegen [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 [mm] \forall n\in\IN, [/mm] dass auch lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist und somit
f(p) = lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0. Analog ist f(p) = lim [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0.
Daher gilt f(p) = 0.
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Nun zu meinen Fragen:
i) Wieso genau folgt, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt und die Folge [mm] (b_n) [/mm] monoton fallend und beschränkt ist?
Es macht durchaus Sinn, aber wie könnte man das mathematisch korrekt zeigen?
ii) Wieso genau gilt wegen (2) [mm] lim_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] lim_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] ? Ist es so, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n\in\IN [/mm] existiert, sodass [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{-n} [/mm] (b-a) < [mm] \epsilon [/mm] ist und [mm] b_n [/mm] konvergent gegen [mm] a_n, [/mm] lim [mm] b_n [/mm] = lim [mm] a_n [/mm] ?
iii) Wieso kann man sagen, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist? Klar, es wurde oben in (3) definiert, dass [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist. Aber wegen des im Induktionsschritt definierten 2. Falles (falls f(m) < 0, setze [mm] a_{n+1} [/mm] = m und [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n) [/mm] muss doch eigentlich immer strikt gelten [mm] f(a_n) [/mm] < 0 und es könnte dann doch eigentlich strikt genommen nie Gleichheit [mm] f(a_n) [/mm] = 0 eintreten, oder?
Für eure Antworten wäre ich dankbar, wie immer
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo X3nion,
zum besseren Verständnis hilft es, dir einfach mal den Zwischenwertsatz an einem beliebigen Beispiel zu überlegen bzw zu skizzieren.
Überleg dir bspw mal am Intervall [1,3] warum die Folge [mm] $a_n$ [/mm] monoton steigt und warum $ [mm] b_n [/mm] $ moton fällt. Die Folgen sind beschränkt wegen [mm] $a_n, b_n \in [/mm] [a,b] $ für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Dann wird auch deine Frage zu 3) schnell klar.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Sa 10.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo ChopSuey,
danke für's Antwort!
Mhm wobei eine Skizze ja keinerlei Beweiskraft hat 
Ich denke ich habe es und versuche es einmal logisch:
Für [mm] a_{n+1} [/mm] gibt es 2 Möglichkeiten:
- [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] oder
- [mm] a_{n+1} [/mm] = m = [mm] \frac{a_n + b_n}{2}.
[/mm]
Wegen [mm] a_n \le b_n [/mm] ist [mm] a_{n+1} [/mm] = m = [mm] \frac{a_n + b_n}{2} \ge \frac{a_n + a_n}{2} [/mm] = [mm] \frac{2a_n}{2} [/mm] = [mm] a_n
[/mm]
Also insgesamt [mm] a_{n+1} \ge a_n.
[/mm]
Analog ergibt sich [mm] b_{n+1} \le b_n.
[/mm]
Wäre das so mathematisch korrekt aufgeschrieben?
Zu 3) Es folgt ja aus f(m) [mm] \ge [/mm] 0, dass man [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] und [mm] b_{n+1} [/mm] = m setzt. Somit hätte man ja [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0.
Aber aus f(m) < 0 folgt ja, dass man [mm] a_{n+1} [/mm] = m und [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] setzt. Aber dann erhält man doch nie Gleichheit [mm] f(a_n) [/mm] = 0, sondern immer [mm] f(a_n) [/mm] < 0.
Das verstehe ich noch nicht.
Gruß X3nion
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Hallo X3nion,
Es geht nicht darum, dass du mittels Skizze den Zwischenwertsatz beweisen sollst. Der Beweis steht ja im Forster. Es geht darum, dass du nachvollziehen kannst, warum $ [mm] a_n$ [/mm] monoton steigt und beschränkt ist und [mm] $b_n$ [/mm] monoton fällt und beschränkt ist.
> Zu 3) Es folgt ja aus f(m) [mm]\ge[/mm] 0, dass man [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n[/mm]
> und [mm]b_{n+1}[/mm] = m setzt. Somit hätte man ja [mm]f(b_n) \ge[/mm] 0.
>
> Aber aus f(m) < 0 folgt ja, dass man [mm]a_{n+1}[/mm] = m und
> [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]b_n[/mm] setzt. Aber dann erhält man doch nie
> Gleichheit [mm]f(a_n)[/mm] = 0, sondern immer [mm]f(a_n)[/mm] < 0.
>
> Das verstehe ich noch nicht.
Es gilt doch [mm] $f(a_n) \le [/mm] 0$ und $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 $ und $ [mm] \lim a_n [/mm] = [mm] \lim b_n [/mm] =: p$ für ein festes $ p [mm] \in [/mm] [a,b]$.
Da $ f $ stetig ist, folgt dann unmittelbar $ [mm] \lim f(a_n) [/mm] = [mm] \lim f(b_n) [/mm] = f(p)$, aus [mm] $f(a_n) \le [/mm] 0$ und wegen $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 $ ist $ f(p) = 0$.
Der Fall dass $f(p) < 0$ oder $f(p) > 0 $ für unser $ p $ kann aufgrund der Konvergenz der Folgen und der Stetigkeit von $ f $ nicht eintreten.
Wie gesagt, mach dir mal ne Skizze und wende die Intervallhalbierungsmethode auf dein Fallbeispiel an. Dann wirst du schnell dahinterkommen, wie der Beweis vom Forster funktioniert.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Di 13.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo ChopSuey,
danke für deinen Post.
Im Forster ist eine Skizze, diese habe ich nun genauer betrachtet.
Dennoch komme ich irgendwie nicht mit den Bedingungen [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 zurecht.
Die Fallunterscheidung von f(m) lautet ja wie folgt:
1. Fall: Wenn f(m) [mm] \ge [/mm] 0, dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].
2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n]. [/mm]
Somit gilt ja immer strikt [mm] f(a_n) [/mm] < 0.
> Man benutze die Intervall-Halbierungsmethode. Sei f(a) < 0 und f(b) > 0.
> Man definiere induktiv eine Folge $ [mm] [a_n, b_n] \subset [/mm] $ [a,b], $ [mm] n\in\IN, [/mm] $
> von Intervallen mit folgenden Eigenschaften:
> (1) $ [mm] [a_n, b_n] \subset [a_{n-1},b_{n-1}] [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 1
> (2) $ [mm] b_n [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] 2^{-n}(b-a) [/mm] $
> (3) $ [mm] f(a_n) \le [/mm] $ 0, $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] $ 0.
Könnte man also bei (3) anstatt [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 auch [mm] f(a_n) [/mm] < 0 schreiben?
Aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] würde ja auch gelten lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, oder?
Somit würde dann wegen der Stetigkeit von f gelten lim $ [mm] f(a_n) [/mm] $ = lim $ [mm] f(b_n) [/mm] $ = f(p) und f(p) = lim $ [mm] f(a_n) \le [/mm] $ 0. Analog ist f(p) = lim $ [mm] f(b_n) \ge [/mm] $ 0.
Mir geht es eben darum, ob bei (3) das [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 nicht auch [mm] f(a_n) [/mm] < 0 als Bedingung ausreichen würde.
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo X3nion,
es muss [mm] $a_n \le [/mm] 0$ bzw [mm] $b_n \ge [/mm] 0$ gelten. Das folgt aus dem Monotoniekriterium (beschränkt und monoton). Siehe dazu auch die entsprechende Definition.
LG,
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Di 13.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo ChopSuey,
> es muss [mm] $a_n \le [/mm] 0$ bzw [mm] $b_n \ge [/mm] 0$ gelten. Das folgt aus dem
> Monotoniekriterium (beschränkt und monoton). Siehe dazu auch die
> entsprechende Definition.
du meinst sicher [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 oder?
Hm ich verstehe das immer noch nicht. Kann man nicht aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 folgern, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist?
> LG,
> ChopSuey
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo,
> Hallo ChopSuey,
>
> > es muss [mm]a_n \le 0[/mm] bzw [mm]b_n \ge 0[/mm] gelten. Das folgt aus dem
> > Monotoniekriterium (beschränkt und monoton). Siehe dazu
> auch die
> > entsprechende Definition.
>
> du meinst sicher [mm]f(a_n) \le[/mm] 0 und [mm]f(b_n) \ge[/mm] 0 oder?
Ja, genau. Danke.
>
> Hm ich verstehe das immer noch nicht. Kann man nicht aus
> [mm]f(a_n)[/mm] < 0 folgern, dass lim [mm]f(a_n) \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 ist?
nein, warum sollte das gelten?
Die Definition von $f(a_n) } \le 0 \le f(b_n)$ ist nur sinnvoll, da $ f $ stetig ist.
Würdest du $ f(a_n) < 0 < f(b_n)$ definieren gäbe es ja offensichtlich eine $ \varepsilon$-Umgebung um den Punkt $ p = 0$ mit $ f(a_n), f(b_n) \not\in U_{\varepsilon}(p) $. Das kann aber nicht sein, wenn $ f $ stetig sein soll und $p \in [a,b]$. Daraus folgt nämlich unmittelbar dass auch $ f(p) \in [f(a),f(b)]$
LG,
ChopSuey
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:20 Mi 14.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo ChopSuey,
> Würdest du [mm] f(a_n) [/mm] < 0 < [mm] f(b_n) [/mm] definieren gäbe es ja offensichtlich eine
> [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] um den Punkt p = 0 mit [mm] f(a_n), f(b_n) \not\in U_{\varepsilon}(p).
[/mm]
Wieso würde man dann eine [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] um p=0 finden mit [mm] f(a_n), f(b_n) \not\in U_{\varepsilon}(p) [/mm] ?
Es würde ja dann gelten [mm] f(a_n) [/mm] < 0 < [mm] f(b_n), [/mm] aber wieso erwähnst du nun p=0? die "0" in [mm] f(a_n) [/mm] < 0 < [mm] f(b_n) [/mm] ist doch ein y-wert und keine Stelle auf der x-Achse.
Ich habe ja gefragt, ob man nicht aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 folgern kann, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist, bzw. aus [mm] f(b_n) [/mm] > 0 dass lim [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 ist.
Für die Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] wäre es doch der Fall, dass [mm] a_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n, aber lim [mm] a_n [/mm] = 0.
Und angenommen ich betrachte die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] mit [mm] f(a_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}, [/mm] so wäre es ja genau dasselbe.
Auf der anderen Seite kann man aber auf jeden Fall aus [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 bzw. [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 folgern, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 und [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 ist, denn das macht ja der Autor im Beweis.
Viele Grüße,
X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:52 Do 15.12.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich meinte natürlich $ f(p) = 0$. Also $ [mm] f(a_n) \le\underbrace {f(p)}_{0} \le f(b_n) [/mm] $.
Aus $ [mm] f(a_n) [/mm] < 0 $ kann folgen dass $ [mm] \lim f(a_n) [/mm] = 0$, muss es aber nicht.
Ich lass die Frage mal offen. Vielleicht findet sich jemand, der dir besser helfen kann.
LG
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 15.12.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
je nach Funktion kannst du doch schon beim ersten oder einem der folgenden Schritte auf [mm] f(a_n)=0 [/mm] stoßen, dann bist du fertig und brauchst nicht weiter unterteilen, wenn du es tust bleibt [mm] a_n [/mm] eben immer erhalten wegen [mm] f(a_n)=0 [/mm] und nur [mm] b_n [/mm] rückt darauf zu.
dummes Beispiel [mm] f(x)=x^2-1 [/mm] f(1,5)>0 f(0,5)<0 m=(1,5+0,5)/2=1 ,f(m)=0 und du bist fertig
wenn f(an)=0 bist du natürlich auch fertig.
Gruß ledum
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:06 Do 15.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend ihr beiden,
danke für eure Beiträge!
Ja klar kann man schon im ersten oder n-ten Schritt darauf stoßen, dass f(m) = 0 ist. Dann wird im Beweis [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] gesetzt und [mm] a_n [/mm] rückt immer weiter auf.
Mein Verständnisproblem:
Ich komme nur mit dem im Beweis definierten Punkt (3) [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 nicht zurecht, da ja niemals [mm] f(a_n) [/mm] = 0 gelten kann wegen
1. Fall: f(m) [mm] \ge [/mm] 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].
2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n].
[/mm]
Auf der anderen Seite kann [mm] f(b_n) [/mm] = 0 gelten wegen dem 1. Fall
Nun hat ChopSuey ja gesagt, dass aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 nicht unbedingt folgen muss, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 (also insbesondere lim [mm] f(a_n) [/mm] = 0) ist.
Der Forster folgert aus [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist.
Meine Frage: muss man [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 fordern, damit man am Ende lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 folgern kann?
Viele Grüße,
X3nion
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:32 Fr 16.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen
da die Fälligkeit abgelaufen ist, möchte ich mein Verständnisproblem nochmals stellen.
Ja klar kann man schon im ersten oder n-ten Schritt darauf stoßen, dass f(m) = 0 ist. Dann wird im Beweis [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] gesetzt und [mm] a_n [/mm] rückt immer weiter auf.
Mein Verständnisproblem:
Ich komme nur mit dem im Beweis definierten Punkt (3) [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, [mm] f(b_n) \ge [/mm] 0 nicht zurecht, da ja niemals [mm] f(a_n) [/mm] = 0 gelten kann wegen
1. Fall: f(m) [mm] \ge [/mm] 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [mm] [a_n, [/mm] m].
2. Fall: f(m) < 0. Dann sei [mm] [a_{n+1}, b_{n+1}] [/mm] := [m, [mm] b_n].
[/mm]
Auf der anderen Seite kann [mm] f(b_n) [/mm] = 0 gelten wegen dem 1. Fall
Nun hat ChopSuey ja gesagt, dass aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 nicht unbedingt folgen muss, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 (also insbesondere lim [mm] f(a_n) [/mm] = 0) ist.
Der Forster folgert aus [mm] f(a_n) \le [/mm] 0, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist.
Meine Frage: muss man [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 fordern, damit man am Ende lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 folgern kann, und formuliert der Forster deshalb die Bedingung [mm] f(a_n) \le [/mm] 0?
Oder würde man aus [mm] f(a_n) [/mm] < 0 auch folgern können, dass lim [mm] f(a_n) \le [/mm] 0 ist?
Für Antworten wie immer sehr dankbar und viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 20.12.2016 | | Autor: | hippias |
Man kann leicht beweisen:
1. Ist [mm] $(x_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] $x_{n}\leq [/mm] 0$ für alle $n$, so ist [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{n}\leq [/mm] 0$.
2. Ist [mm] $(x_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] $x_{n}< [/mm] 0$ für alle $n$, so ist [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{n}\leq [/mm] 0$.
Der zweite Fall ist im ersten eingeschlossen. Zur Veranschaulichung mag das Beispiel [mm] $x_{n}= -\frac{1}{n}$ [/mm] dienen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 20.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo hippias,
danke für deinen Beitrag!
Ich versuche mal zu beweisen:
Zu 1)
Es sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] x_n [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und bezeichne a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \in \IR [/mm] ihren Grenzwert.
Dann gibt es zu vorgegebenem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt: [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon [/mm] bzw. a - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < a + [mm] \epsilon
[/mm]
Angenommen es ist a > 0. Da a > 0, existiert ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass a - [mm] \epsilon [/mm] = 0 ist. Somit folgt der Widerspruch wegen [mm] x_n [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] aber [mm] x_n [/mm] > a - [mm] \epsilon [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Also muss doch a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \le [/mm] 0 gelten.
Zu 2)
Es sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine konvergente reelle Folge mit [mm] x_n \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und sei a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \in \IR [/mm] ihr Grenzwert.
Dann gibt es zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] sodass [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] ist.
Angenommen es sei a > 0.
Dann gibt es ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass a:= [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \epsilon.
[/mm]
Somit gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] |x_n [/mm] - [mm] \epsilon| [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Wegen [mm] x_n \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n ist [mm] x_n [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < 0.
Den Betrag aufgelöst, ergibt sich
[mm] -x_n [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] <=> [mm] x_n [/mm] > 0
der Widerspruch [mm] x_n [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Folglich muss doch [mm] lim_{n\rightarrow\infty} x_n \le [/mm] 0 gelten.
Wäre das soweit in Ordnung?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Di 20.12.2016 | | Autor: | hippias |
Ja, das ist richtig. Ich finde es aber umständlich beide Aussagen zu beweisen, denn aus 2. folgt 1..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Do 22.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo an alle, die an meinem Beitrag mitgewirkt haben.
Mir ist der Beweis nun insgesamt klar geworden!
Viele Grüße,
X3nion
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