Beweis Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 09.09.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sei
X: [mm] (\Omega [/mm] , [mm] \sigma(E) [/mm] ) [mm] \to [/mm] {{0,1,2}, [mm] 2^{\{0,1,2\}} [/mm] },
[mm] X(\omega)= [/mm] 0, [mm] \omega=4
[/mm]
=1, [mm] \omega \in [/mm] {1,3}
= 2, [mm] \omega [/mm] =2
Zeige: X ist Zufallsvariable
(wobei [mm] \sigma [/mm] (E)= {{1,2,3},{2},{4}, {1,2,3,4}, { }, {2,4}, {1,2,4}, {1,3}}) |
Hallo,
ich wäre dankbar, wenn ihr mir sagen könntet, wie ich hier vorgehen muss...
Muss ich hier eine Umkehrabbildung betrachten?
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Hiho,
> Muss ich hier eine Umkehrabbildung betrachten?
nein, aber Urbilder wären sicherlich hilfreich.
Wann nennt man eine Funktion X denn ZV?
Definitionen wäre da sehr hilfreich.....
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 10.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Als Definition hätte ich folgendes im Angebot:
Seien [mm] (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] und [mm] (\Omega', \mathcal{A}') [/mm] zwei Messräume. Eine Abbildung X: [mm] \Omega \to \Omega' [/mm] wird Zufallsvariable genannt, wenn [mm] X^{-1} [/mm] ( A')= { [mm] \omega \in \Omega: X(\omega) \in [/mm] A' } [mm] \in \mathcal{A} \forall [/mm] A' [mm] \in \mathcal{A}'
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mi 10.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst
$X: [mm] (\Omega [/mm] , [mm] \sigma(E) [/mm] ) [mm] \to \{\{0,1,2\}, 2^{\{0,1,2\}} \}$
[/mm]
Gemeint ist wohl
$X: [mm] (\Omega [/mm] , [mm] \sigma(E) [/mm] ) [mm] \to (\{0,1,2\}, 2^{\{0,1,2\}} [/mm] )$
Deinen weiteren Angaben entnehme ich:
$ [mm] \Omega=\{1,2,3,4\}$, $\mathcal{A}= \sigma(E)$.
[/mm]
(Was E sein soll hast Du nicht verraten !)
Weiter soll wohl [mm] \Omega'= \{0,1,2\} [/mm] sein und [mm] \mathcal{A}' [/mm] = Potenzmenge von [mm] \Omega'.
[/mm]
Zeige also:
ist B eine Teilmenge von [mm] \Omega', [/mm] so ist [mm] X^{-1}(B) [/mm] eine Teilmenge von [mm] \sigma(E).
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mi 10.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Sorry, es ist E= { {1,2,3}, {2}, {4} }, [mm] \mathcal{A} [/mm] ist die Sigma-Algebra.
Wovon genau muss ich denn jetzt die Urbilder betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mi 10.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, es ist E= { {1,2,3}, {2}, {4} }, [mm]\mathcal{A}[/mm] ist die
> Sigma-Algebra.
Und, was ist Deine Frage ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Mi 10.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Hatte meine Frage editiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 10.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, es ist E= { {1,2,3}, {2}, {4} }, [mm]\mathcal{A}[/mm] ist die
> Sigma-Algebra.
> Wovon genau muss ich denn jetzt die Urbilder betrachten?
Kannst Du lesen ? Oben schrieb ich:
"Zeige: ist B eine Teilmenge von $ [mm] \Omega', [/mm] $ so ist $ [mm] X^{-1}(B) [/mm] $ eine Teilmenge von $ [mm] \sigma(E). [/mm] $"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 11.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Also muss ich die 8 Mengen
{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} betrachten?
z.B.: [mm] X^{-1} [/mm] ({})= { [mm] \omega \in [/mm] {1,2,3,4}: [mm] X(\omega) \in [/mm] { } } ??
Ich komme mit der Notation nicht ganz klar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 11.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also muss ich die 8 Mengen
> {},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} betrachten?
hier ist mir nicht klar, ob Du das richtige meinst. Man kann schreiben, dass
Du
[mm] $X^{-1}(\text{Pot}(\{0,1,2\})) \subseteq \sigma(E)$
[/mm]
nachzurechnen hast, wenn man das Symbol linkerhand entsprechend definiert.
Jedenfalls: Du hast oben nicht
[mm] $\text{Pot}(\{0,1,2\})$
[/mm]
hingeschrieben, sondern
[mm] $\text{Pot}(\{1,2,3\}).$
[/mm]
Das bekommst Du aber leicht korrigiert. 
> z.B.: [mm]X^{-1} (\{\})= \{ \omega \in \{1,2,3,4\}: X(\omega) \in \{ \} \}[/mm] ??
>
> Ich komme mit der Notation nicht ganz klar...
Warum? Sieht doch gut aus. Nur:
[mm] $\{\omega \in \Omega=\{1,2,3,4\}:\;\;X(\omega) \in \{\}\}$
[/mm]
ist jetzt wirklich sehr sehr vakuumiert... Wie kann man das noch schreiben?
Allgemein: Ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ eine Abbildung, so ist
[mm] $f^{-1}(\{\})=\{\}\,.$
[/mm]
Beweis: Es gibt kein $x [mm] \in [/mm] D$ mit $f(x) [mm] \in \{\}\,.$ $\Box$
[/mm]
(Beachte: Ist [mm] $D\,$ [/mm] nicht leer und $x [mm] \in D\,$ [/mm] (fest), so ist [mm] $\{f(x)\}$ [/mm] nicht leer!)
Also?
Und damit es nochmal ganz klar da steht:
Es ist zu zeigen:
Für alle
$M [mm] \in \{\{\},\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}=\text{Pot}(\{0,1,2\})$
[/mm]
gilt
[mm] $X^{-1}(M) \in \sigma(E)=\{\{1,2,3\},\{2\},\{4\}, \{1,2,3,4\}, \{ \}, \{2,4\}, \{1,2,4\}, \{1,3\}})$
[/mm]
Dass [mm] $\text{Pot}(X)$ [/mm] (ihr schreibt das als [mm] $2^X$) [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $X\,$ [/mm] ist, ist
klar (habt ihr das schonmal nachgewiesen?).
Ich würde mich hier auch davon überzeugen, dass für [mm] $E=\{ \{1,2,3\}, \{2\}, \{4\} \}$ [/mm] auch
[mm] $\sigma(E)$ [/mm] korrekt angegeben wird - oder, wenn die Aufgabenstellung so
lautet, wie Du sie am Anfang aufgeschrieben hattest:
Dass [mm] $\sigma(E)$ [/mm] (welches ja dann angegeben wird) auch eine Sigma-Algebra
auf [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] ist - das steht ja eine Voraussetzung bei dem Begriff der Zufallsvariablen
dabei!
Aber zurück zur eigentlichen Hauptaufgabe: Ich nehme noch eine
Beispielmenge aus [mm] $\text{Pot}(\{0,1,2\})$ [/mm] her, jetzt mal die Menge [mm] $\{1,2\}\,.$ [/mm] Wir berechnen
[mm] $X^{-1}(\{1,2\})=\{w \in \Omega=\{1,2,3,4\}: \;\; X(w)=1 \text{ oder }X(w)=2\}=\{1,2,3\}$
[/mm]
Man hätte das auch so rechnen können:
[mm] $X^{-1}(\{1,2\})=X^{-1}(\{1\}) \cup X^{-1}(\{2\})=\{1,3\} \cup \{2\}=\{1,2,3\}\,.$
[/mm]
Und jetzt hat man
[mm] $X^{-1}(\{1,2\})=\red{\{\,1,2,3\,\}}$
[/mm]
und schaut sich nun an, ob [mm] $\red{\{\,1,2,3\,\}}$ [/mm] zu [mm] $\sigma(E)$ [/mm] gehört:
[mm] $\sigma(E)=\{\red{\{1,2,3\}},\{\,2\,\},\{4\}, \{1,2,3,4\}, \{ \}, \{2,4\}, \{1,2,4\}, \{1,3\}})$
[/mm]
Passt also...
D.h., aktuell wissen wir: Von den Mengen
$ M [mm] \in \{\blue{\{\}},\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\blue{\{1,2\}},\{0,1,2\}\} [/mm] $
gilt
[mm] $X^{-1}(M) \in \sigma(E)$ [/mm] für [mm] $M=\{\}$ [/mm] bzw. [mm] $M=\{1,2\}\,.$
[/mm]
Um die nichtblaumarkierten Mengen oben darfst Du Dich nun wieder
kümmern...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Fr 12.09.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke für deine ausführliche Antwort, Marcel!
Habs verstanden! Eigentlich gar nicht so schwer
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