Beweis Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sei V ein K-Vektorraum und X eine nicht-leere Menge. Für f,g [mm] \in [/mm] Abb(X,V) definieren wir f+g [mm] \in [/mm] Abb(X,V) durch (f+g)(x):=f(x)+g(x), x [mm] \in [/mm] X. Für f [mm] \in [/mm] Abb(X,V) und [mm] \lambda \in [/mm] K definieren wir [mm] \lambda*f \in [/mm] Abb(X,V) durch [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] := [mm] \lambda*f(x), [/mm] x [mm] \in [/mm] X.
Beweisen Sie,dass Abb(X,V) ein K-Vektorraum ist. |
| Aufgabe 2 | Sei W ein Unterraum von V.
Zeigen Sie, dass dann Abb(X,W) ein Unterraum von Abb(X,V) ist. |
Ich kenne die Definitionen zu Vektorraum und Unterraum,aber wie überprüfe ich nun die Eigenschaften an dieser Aufgabe. Kann mir jemand ein Beispiel geben?
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> Sei V ein K-Vektorraum und X eine nicht-leere Menge. Für
> f,g [mm]\in[/mm] Abb(X,V) definieren wir f+g [mm]\in[/mm] Abb(X,V) durch
> (f+g)(x):=f(x)+g(x), x [mm]\in[/mm] X. Für f [mm]\in[/mm] Abb(X,V) und
> [mm]\lambda \in[/mm] K definieren wir [mm]\lambda*f \in[/mm] Abb(X,V) durch
> [mm](\lambda*f)(x)[/mm] := [mm]\lambda*f(x),[/mm] x [mm]\in[/mm] X.
> Beweisen Sie,dass Abb(X,V) ein K-Vektorraum ist.
Hallo,
Du mußt nun die Gültigkeit der VR-Axione von A-Z vorrechen.
Zum Beispiel das Assoziativgesetzt:
Zu zeigen: für alle f,g,h [mm] \in [/mm] Abb(X, V).gilt (f+g)+h=f+(g+h).
An dieser Stelle muß man kurz in sih gehen. Es ist hier die Gleicheit von Funktionen zu zeigen.
Wann sind zwei Funktionen gleich: wenn ihre Funktionswerte an jeder Stelle übereinstimmen.
Damit steht der Fahrplan: man wird zeigen müssen, daß für jedes [mm] x\in [/mm] X folgendes gilt
[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x).
Beweis: Seine f,g,h [mm] \in [/mm] Abb(X,V).
Für alle [mm] x\in [/mm] X gilt
[(f+g)+h](x)= (f+g)(x)+h(x) nach Def. der Addition von Funktionen
=(f(x)+g(x))+h(x) nach Def. der Addition von Funktionen
= f(x)+ (g(x)+h(x)) denn f(x), g(x), h(x) sind in V und hier gilt das Assoziativgesetz, weil V nach Voraussetzung ein VR ist
= ...
Jetzt kannst Du weitermachen.
Möglicherweise hat sich hiermit deine Frage, was zu tun ist, bereits geklärt.
Gruß v. Angela
> Sei W ein Unterraum von V.
> Zeigen Sie, dass dann Abb(X,W) ein Unterraum von Abb(X,V)
> ist.
> Ich kenne die Definitionen zu Vektorraum und
> Unterraum,aber wie überprüfe ich nun die Eigenschaften an
> dieser Aufgabe. Kann mir jemand ein Beispiel geben?
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