Beweis V ist ein UVR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise, dass folgende Mengen V jeweils zusammen mit der angegebenen Addition + : V x V → V und Skalarmultiplikation *: R x V → V Vekorräume über R (reele Zahlen) sind.
Sei V: { f: R → R | nur für endlich viele x ∈ R ist f(x)≠0 mit den Verknüpfungen
(f + g) (x) := f(x) + g (x) für alle x ∈ R , f,g ∈ V
(λ + f)(x) := λ f(x) für alle x ∈ R , f ∈ V, λ∈ R }
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Da V ein Untervektorraum von [mm] R^R [/mm] ist, braucht man ja nur die Unterraumkriterien nachweisen.
Kurzgefasst muss man ja nachweisen:
λ*f+µ+g ∈ V.
Aber genau da liegt mein Problem. wie beweise ich, dass diese Aussage war ist. vielleicht kann mir jemand einen Ansatz geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise, dass folgende Mengen V jeweils zusammen mit der
> angegebenen Addition + : V x V → V und
> Skalarmultiplikation *: R x V → V Vekorräume über R
> (reele Zahlen) sind.
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> Sei V: { f: R → R | nur für endlich viele x ∈
> R ist f(x)≠0} mit den Verknüpfungen
> (f + g) (x) := f(x) + g (x) für alle x ∈ R , f,g
> ∈ V
> (λ + f)(x) := λ f(x) für alle x ∈ R , f
> ∈ V, λ∈ R
>
> Da V ein Untervektorraum von [mm]R^R[/mm] ist, braucht man ja nur
> die Unterraumkriterien nachweisen.
> Kurzgefasst muss man ja nachweisen:
> λ*f+µ*g ∈ V.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist etwas zu kurz gefaßt.
Man muß zuerst zeigen, daß [mm] V\not=\emptyset [/mm] oder alternativ, daß die Null (des 0bervektorraumes) drin ist.
Na gut, das ist hier nicht schwer: die Nullabbildung ist drin, weil si alle Elemente auf die Null abbildet, also nur endlich viele Funktionswerte (keiner) [mm] \not=0 [/mm] sind.
> Aber genau da liegt mein Problem. wie beweise ich, dass
> diese Aussage war ist. vielleicht kann mir jemand einen
> Ansatz geben.
Ich würde das lieber in zwei Aussagen zerlegen:
a) [mm] f+g\in [/mm] V
Seien f,g [mm] \in [/mm] V.
Also hat f nur endlich viele Stellen [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] mit [mm] f(x_i)\not=0 [/mm] und
g hat nur endlich viele Stellen [mm] y_1, [/mm] ...., [mm] y_m [/mm] mit [mm] g(x_j)\not=0.
[/mm]
Nun überlege Dir, was beim Addieren passiert.
Was ist an den Stellen, an denen beide den Funktionswert 0 haben?
Wieviele Stellen kommen überhaupt dafür infrage, nicht den Funktionswert 0 zu haben?
Gruß v. Angela
b) [mm] \lambda f\in [/mm] V.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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