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| Aufgabe | Beweisen sie für relle Zahlen a(1), ..., a(n) > 0 die Ungleichung
[mm] (\summe_{i=1}^{n}a(i))*(\summe_{i=1}^{n}1/a(i)) [/mm] >= n²
Um Verwechslungen auszuschließen: (i) ist der Index (!) von a. weiß leider nicht wie man das richtig schreibt.
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Ich hab leider überhaupt keine Ahnung wie diese Aufgabe anzugehen ist.
habs mal mit der Induktion versucht. bei mir steht jetzt also
Induktionsbehauptung siehe oben
Induktionsanfang: A(1) 1 >= 1
Induktionsschritt: n² + a(i)*(1/a(n+1)) + a(n+1)*(1/a(i)) >= n²+2n+1
etc.
aber laut leduart ist bereits dieser schritt "verseucht"(vermutlich da man bei einer Ungleichung nicht "ersetzen" darf), weshalb ich Euch meine weiteren Ergebnisse ersparen möchte.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann? Gibt es einen anderen (leichteren) Weg als die Induktion um die Ungleichung zu beweisen? Bin dankbar für jede Anregung...
merci
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo christian
> Beweisen sie für relle Zahlen a(1), ..., a(n) > 0 die
> Ungleichung
>
> [mm](\summe_{i=1}^{n}[/mm] a(i)) * [mm](\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1/a(i)) >= n²
> Ich hab leider überhaupt keine Ahnung wie diese Aufgabe
> anzugehen ist.
>
> habs mal mit der Induktion versucht. bei mir steht jetzt
> also
>
> Induktionsbehauptung siehe oben
>
> Induktionsanfang: A(1) 1 >= 1
>
> Induktionsschritt: n²+ [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] a(i) * (1 /
> (a(n)+1) + [mm]\summe_{i=1}^{n+1}[/mm] a(n+1) * (1 / a(i) >=
> n²+2n+1
den Schritt versteh ich nicht. Woher kommt das [mm] n^2 [/mm] am Anfang?
wieso geht die 2. Summe bis n+1 und nicht bis n? wieso steht hinten nicht 1/a(n+1) sondern 1 / a(i) ?
> <=>
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] a(i)/a(n+1) + a(n+1) / a(i) >= 2n
Und hier sind plötzlich ganze Summen verschwunden.
> könnt Ihr mir folgen?
Nein!
Schreib bitte noch mal genau auf, was dein Zwischenergebnis ist. du kannst z.Bsp nicht einfach [mm](\summe_{i=1}^{n}[/mm] a(i)) * [mm](\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1/a(i)) durch [mm] n^2 [/mm] ersetzen,
Also bitte nochmal, und lies es am Schluss bevor du es absendest in der Vorschau, und guck ob da steht, was du wolltest.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Sa 04.11.2006 | | Autor: | hoppedaja |
Ich habe meine Frage editiert, da sie vorher wohl sehr konfus war. Auch habe ich meine Ergebnisse gelöscht, da sie fehlerhaft waren. Ich habe mir ausführliche Gedanken zu der Aufgabe gemacht, die leider zu nichts verwertbarem führten. Daher denkt bitte nicht, ich wolle nur die Beantwortung der Frage auf Euch, liebe Mathe-Genies ^^, abwälzen.
Ich selbst trete nur leider auf der Stelle.
Danke für Eure Zeit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Beweisen sie für relle Zahlen a(1), ..., a(n) > 0 die
> Ungleichung
>
> [mm](\summe_{i=1}^{n}a(i))*(\summe_{i=1}^{n}1/a(i))[/mm] >= n²
> Um Verwechslungen auszuschließen: (i) ist der Index (!)
> von a. weiß leider nicht wie man das richtig schreibt.
>
> Ich hab leider überhaupt keine Ahnung wie diese Aufgabe
> anzugehen ist.
(>
> habs mal mit der Induktion versucht. bei mir steht jetzt
> also
>
> Induktionsbehauptung siehe oben
>
> Induktionsanfang: A(1) 1 >= 1
Induktionsvors: [mm](\summe_{i=1}^{n}a(i))*(\summe_{i=1}^{n}1/a(i))[/mm] >= n²
> Induktionsschritt: n² + a(i)*(1/a(n+1)) + a(n+1)*(1/a(i)) >= n²+2n+1
Wo sind denn jetzt plötzlich alle Summen geblieben? du willst doch zeigen:
[mm](\summe_{i=1}^{n+1}a(i))*(\summe_{i=1}^{n+1}1/a(i))[/mm] >= (n+1)²
dazu erst die linke Seite umformen, sodass schon in der ind.vors bekanntes vorkommt:
[mm](\(summe_{i=1}^{n}a(i)+a(n+1))*(\summe_{i=1}^{n}1/a(i)+1/a(n+1)=(\(summe_{i=1}^{n}a(i))*(\(summe_{i=1}^{n}1/a(i)+a(n+1)*(\(summe_{i=1}^{n}1/a(i)+1/a(n+1)*(\(summe_{i=1}^{n}a(i) + 1[/mm]
[mm] >n^2+a(n+1)*(\(summe_{i=1}^{n}1/a(i)+1/a(n+1)*(\(summe_{i=1}^{n}a(i) [/mm] + 1[/mm]
hier hab ich nicht [mm] n^2 [/mm] eingesetzt, sondern die rechte Seite der Gleichung verkleinert und ne Ungleichung draus gemacht.
jetzt haben wir schon [mm] n^2+1 [/mm] es fehlt noch 2n
also bleibt zu beweisen: [mm] a(n+1)*(\(summe_{i=1}^{n}1/a(i)+1/a(n+1)*(\(summe_{i=1}^{n}a(i) [/mm] >2n [/mm]
Nimm die Faktoren in die Summe, schreib alles in eine Summe, dann hast du
[mm] $\(summe_{i=1}^{n}\bruch{a_{n+1}^2+a_i^2)(a_{n+1}*a_i)}
[/mm]
da kannst du jeden einzelnen Summanden durch 2 abschätzen und bist fertig.
Mich würde schon wundern wo in deinem Ansatz die Summen geblieben sind.
Gruss leduart
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