Beweis Translation ist Isom. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | [mm] \underline{\text{Aufgabe} 1.}
[/mm]
Zeigen Sie:
(1) Translationen sind Isometrien.
(2) Eine Dilatation [mm] \delta [/mm] mit Streckungsfaktor [mm] \mu [/mm] ist eine affine Ähnlichkeit. Ist [mm] \mu=\pm [/mm] 1, so ist [mm] \delta [/mm] eine Isometrie.
(3) Ist [mm] \rho: V\to [/mm] V eine lineare Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitsfaktor [mm] \mu, [/mm] so ist [mm] \rho [/mm] = [mm] h_{\mu} \circ [/mm] f mit [mm] h_{\mu}=\mu \cdot id_{V} [/mm] und [mm] f\in [/mm] O(V). |
Also ich hänge momentan noch bei (1), auch wenn mir die richtigkeit durchaus klar ist.
Also wir haben definiert:
Eine affine Abb. [mm] \varphi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X' heißt eine affine Ähnlichkeit mit Ähnlichkeitssfaktor [mm] \mu, [/mm] falls [mm] d(\varphi(A),\varphi(B)) [/mm] = [mm] \mu [/mm] · d(A,B) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in [/mm] X.
Ist [mm] \mu [/mm] = 1, so heißt [mm] \varphi [/mm] Isometrie oder Kongruenz:
[mm] Isom(X):=\left\{\varphi| \varphi:X\to X\text{ Isometrie}\right\}
[/mm]
Ich habe also zu zeigen das die Metrik erhalten bleibt und [mm] d(\varphi(A),\varphi(B)) [/mm] = d(A,B) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in [/mm] X gilt.
Ich habe mir gedacht das ich mir dann erstmal einen Translationsvektor u wähle, aber ich hab ja direkt so keine metrik auf den Translationsvektoren. Es sei denn ich gehe von der euklidischen Norm aus.
Irgendwie fehlt mir da ne ansatzidee, ich glaube ich habe die schreibweise.
[mm] u=\overrightarrow{A\varphi(A)} [/mm] auch noch nicht ganz verstanden.
Also u ist der Translationsvektor. A ist ein Fixerpunkt meines Affinen raums. Aber was ist [mm] \varphi(A). [/mm] Einfach eine Abbildung die den Punkt A iregndwohin Abbildet?
Wie kann man hier anfangen? Ich bin irgendwie ratlos, dabei meinte mein Dozent es wäre relativ einfach :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 So 30.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei einer Translation hat man doch keinen Fixpunkt, oder was soll ein Fixerpunkt sein?jeder Punkt wird um den Vektor u verschoben. Wie habt ihr denn Translation beschrieben? Durch eine Marix oder durch einen Verschiebungsvektor
Dein Ausdruck macht nur Sinn, wenn [mm] \phi(A) [/mm] die Abbildung von A ist etwa durch eine Matrix gegeben.
wenn d(x,y) in X nicht gegeben ist, bzw eine exakte Eigenschaft von d kannst du natürlich nichts begründen,
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 30.11.2014 | | Autor: | Nyuu |
Also bei uns steht:
Definition:
1) Bijektive affin. Abb. eines aff. Raumes $X$ auf sich selbst heißen Affinitäten von $X$. Die Menge aller dieser Affinitäten heißen affine Gruppe, $GA(X)$
2) Eine Abb. $I: [mm] X\to [/mm] X$ heißt Translation, wenn für alle Punkte [mm] $A,B\in [/mm] X$ gilt [mm] \overrightarrow{A\tau(A)}=\overrightarrow{B\tau(B)}. [/mm] Der von der Wahl des Punktes A unabhängige Vektor [mm] u=\overrightarrow{A\tau(A)} [/mm] heißt Translationvekotr von [mm] $\tau$. [/mm] Für einen vorgegebenen Vektor [mm] u\in V_{X} [/mm] schreibt man für die Translation [mm] \rho [/mm] mit der Eigenschaft [mm] \overrightarrow{A\tau(A)}=u [/mm] für alle [mm] $A\in [/mm] X$ auch [mm] $\tau=\tau_{u}$.
[/mm]
$T(X)$ bezeichnet die Menge aller Translationen von $X$.
Also so haben wir die Translation definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Nyuu,
der Beweis ist elementar. Überlege dir einfach wie [mm] d(\tau(A),\tau(B)) [/mm] definiert ist und zeige dann durch Umformen, dass [mm] $d(\tau(A),\tau(B))=d(A,B)\forall A,B\in [/mm] X$. Dabei hilft sicherlich die eher informelle Überlegung, was geschieht, wenn ich die Einzelkomponenten eines Vektors [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] mit [mm] \tau [/mm] verschiebe.
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Nyuu |
Aber ich habe hier doch erstmal garkeine Metrik definiert, oder kann ich einfach davon ausgehen das es die euklidische Metrik ist?
Desweiteren weiss ich immer noch nicht was mein Tau in der definition der Translation ist, weil Tau niemals definiert wurde.
Ohne die definition verstanden zu haben macht alles erstmal keinen Sinn.
Also eine Translation ist ja erstmal nichts anderes als eine verschiebung eines Vektors. Die Länge und die Richtung des Vektors bleiben dabei gleich.
Nun steht in der Definition eine Abb. [mm] $I:X\to [/mm] X$ heißt Translation wenn,
[mm] $\forall A,B\in [/mm] X$ gilt [mm] $\overrightarrow{A\tau(A)}=\overrightarrow{B\tau(B)}$
[/mm]
Sagen wir mal, A ist der Punkt (0,1). Was ist dann [mm] \tau(A) [/mm] ?
verschiebt [mm] \tau(A) [/mm] den Punkt dann z.B. um 1 nach oben, sodass [mm] A\tau(A)= [/mm] (1,1) ist?
und bildet u, dann eben den Punkt (1,1)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Nyuu,
> Aber ich habe hier doch erstmal garkeine Metrik definiert,
> oder kann ich einfach davon ausgehen das es die euklidische
> Metrik ist?
Ich denke, du darfst vom euklidischen affinen Raum bzw. Vektorraum ausgehen. Zumindest bin ich davon ausgegangen, als ich den Beweis im Kopf durchging. Vielleicht schaust du mal in dein Skript, ob eine solche Voraussetzung vorliegt. Ansonsten gestaltet sich die Argumentation über allgemeine Eigenschaften einer Metrik m.E. recht schwierig.
Das schöne ist dann (im euklidischen Fall) nämlich, dass du in natürlicher Weise [mm] d(A,B):=||\overrightarrow{AB}||=<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}>^\frac{1}{2} [/mm] definieren kannst, wie ![[]](/images/popup.gif) hier (S. 12) geschehen. Danach ist der Beweis simpel.
> Desweiteren weiss ich immer noch nicht was mein Tau in der
> definition der Translation ist, weil Tau niemals definiert
> wurde.
> Ohne die definition verstanden zu haben macht alles
> erstmal keinen Sinn.
>
> Also eine Translation ist ja erstmal nichts anderes als
> eine verschiebung eines Vektors. Die Länge und die
> Richtung des Vektors bleiben dabei gleich.
>
> Nun steht in der Definition eine Abb. [mm]I:X\to X[/mm] heißt
> Translation wenn,
>
> [mm]\forall A,B\in X[/mm] gilt
> [mm]\overrightarrow{A\tau(A)}=\overrightarrow{B\tau(B)}[/mm]
>
> Sagen wir mal, A ist der Punkt (0,1). Was ist dann [mm]\tau(A)[/mm]
> ?
>
> verschiebt [mm]\tau(A)[/mm] den Punkt dann z.B. um 1 nach oben,
> sodass [mm]A\tau(A)=[/mm] (1,1) ist?
>
> und bildet u, dann eben den Punkt (1,1)?
Du meinst sicherlich [mm]\tau:X\to X[/mm] heißt Translation wenn,
[mm]\forall A,B\in X[/mm] gilt [mm]\overrightarrow{A\tau(A)}=\overrightarrow{B\tau(B)}[/mm].
Die Definition zeigt anschaulich, dass jeder Punkt im affinen Raum mit der Abb. [mm] \tau [/mm] um denselben Vektor [mm] v=\overrightarrow{A\tau(A) } [/mm] verschoben wird. Sagen wir wir verschieben immer um den Vektor (0,1) im [mm] \IR^2=X, [/mm] also nach "oben". A sei der Punkt (1,1). Dann ist [mm] \tau(A)=(1,2), [/mm] denn [mm] \overrightarrow{(1,1)\tau((1,1))}=\overrightarrow{(1,1)(1,2)}=(1,2)-(1,1)=(0,1). [/mm] Hierbei ist der affine Raum [mm] (\IR^2,\IR^2,\Phi) [/mm] gleichzeitig [mm] \IR [/mm] -Vektorraum mit [mm] \Phi(A,B):=B-A. [/mm] Ich hoffe das Beispiel bringt dir etwas.
LG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Nyuu |
hey vielen dank. Also mit [mm] \rho: X\to [/mm] X würde es sinn machen bei mir steht aber tatsächlich I, weswegen ich mir nicht bewusst war woher das roh auf einmal kommt :O
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> bei einer Translation hat man doch keinen Fixpunkt, oder
> was soll ein Fixerpunkt sein?
... vielleicht ein Fixpunkt, der immer gleich wieder verschwindet,
wenn man ihn sucht ...
oder waren dies die Flitzerpunkte ?
Und da gäbe es dann noch Fluchtpunkte : ein solcher kann
tatsächlich "Fix-Fluchtpunkt" einer Translation sein ...
Aber auch sie bekommt man gar nie zu Gesicht, denn sie
befinden sich im "Unendlichen".
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Nyuu |
Ich finde es überhaupt nicht gut das man sich hier über meine Äußerung lächerlich macht!
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> Ich finde es überhaupt nicht gut das man sich hier über
> meine Äußerung lächerlich macht!
Naja, verzeih mir doch das kleine Witzchen über die
lustige Wortbildung.
So nebenbei habe ich nämlich auch noch etwas durchaus
Mathematisches und Diskutierenswertes eingebracht mit
der Bemerkung über Fluchtpunkte. Wenn man nämlich
die euklidische Ebene durch solche zu einer projektiven
Ebene erweitert, gibt es tatsächlich auch Fixpunkte für
Translationen !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Nyuu |
Ich meinte mit einem Fixenpunkt einen Festen Punkt [mm] A\in [/mm] X. Das Wort Fixpunkt war natürlich dumm gewählt.
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