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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 31.10.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
| Aufgabe | A und B seien Mengen.
Zeigen Sie:
Wenn [mm]A \subseteq B[/mm], so [mm]Pot(A) \subseteq Pot(B)[/mm] |
Guten Abend 
oben stehende Aussage gilt es zu beweisen. Das Schema, wie ich sie zu beweisen habe, scheint mir geläufig.
Meine Ergebnisse bisher:
[mm]x \epsilon A \Rightarrow x \epsilon B[/mm] und [mm]M \epsilon Pot(A) \Rightarrow M \epsilon Pot(B)[/mm]
Ist folgender Schluss richtig?
Aus [mm]x \epsilon A[/mm] und [mm]M \epsilon Pot(A)[/mm] folgt [mm]x \epsilon M[/mm]
Und jetzt muss ich doch zeigen, dass, wenn x in A enthalten ist, somit auch in B, dann auch in der Potenzmenge von A, somit in der Potenzmenge B ist ... jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 31.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Meine Ergebnisse bisher:
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> [mm]x \epsilon A \Rightarrow x \epsilon B[/mm] und [mm]M \epsilon Pot(A) \Rightarrow M \epsilon Pot(B)[/mm]
>
Diese Implikationen sind als Definitionen der Aussagen $ A [mm] \subseteq [/mm] B $ und $ Pot(A) [mm] \subseteq [/mm] Pot(B) $ richtig.
> Ist folgender Schluss richtig?
>
> Aus [mm]x \epsilon A[/mm] und [mm]M \epsilon Pot(A)[/mm] folgt [mm]x \epsilon M[/mm]
>
Nein. Wenn x aus A ist und wenn M eine Teilmenge von A ist, dann folgt daraus nicht, dass x aus M sein muss.
> Und jetzt muss ich doch zeigen, dass, wenn x in A enthalten
> ist, somit auch in B, dann auch in der Potenzmenge von A,
> somit in der Potenzmenge B ist ... jemand einen Tipp?
Nein.
Wenn x in A ist, dann ist es nicht in der Potenzmenge von A, denn dort sind die Teilmengen von A drin und nicht die Elemente von A.
Mein Tipp ist folgender:
Du willst zeigen, dass $ Pot(A) [mm] \subseteq [/mm] Pot(B) $ ist.
Also nimmst du dir irgendein Element von Pot(A) (d.h. eine Teilmenge von A) her, und zeigst, dass diese Menge auch in Pot(B) enthalten ist (also eine Teilmenge von B ist).
Das hattest du ja selbst mit der Menge M oben schon so hingeschrieben.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 31.10.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Danke Sax,
ich denke, ich habe es.
Also:
Sei [mm]M \subseteq Pot(A)[/mm] und [mm]x \epsilon M[/mm], so [mm]x \epsilon A[/mm]. Daraus folgt laut Aussage [mm]x \epsilon B[/mm], woraus ja mit [mm]x \epsilon M[/mm] der Ausdruck [mm]M \subseteq Pot(B)[/mm] gilt,ay?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 So 31.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, das Wesentliche steht jetzt da.
Ganz ausführlich würde man vielleicht Folgendes schreiben :
Sei A [mm] \subseteq [/mm] B. (*)
Zu zeigen ist Pot(A) [mm] \subseteq [/mm] Pot(B).
Sei M [mm] \in [/mm] Pot(A), also sei M [mm] \subseteq [/mm] A. (**)
Zu zeigen ist M [mm] \in [/mm] Pot(B) , also zu zeigen ist M [mm] \subseteq [/mm] B.
Sei x [mm] \in [/mm] M.
Zu zeigen ist x [mm] \in [/mm] B.
x [mm] \in [/mm] M
=> x [mm] \in [/mm] A (wegen (**))
=> x [mm] \in [/mm] B (wegen (*))
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 31.10.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Das klingt gleich viel schöner ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Vielen Dank dir :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 So 31.10.2010 | | Autor: | Wiesel89 |
Danke Sax,
ich denke, ich habe es.
Also:
Sei [mm]M \subseteq Pot(A)[/mm] und [mm]x \epsilon M[/mm], so [mm]x \epsilon A[/mm]. Daraus folgt laut Aussage [mm]x \epsilon B[/mm], woraus ja mit [mm]x \epsilon M[/mm] der Ausdruck [mm]M \subseteq Pot(B)[/mm] gilt,ay?
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