Beweis Teilmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 21.10.2008 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | A und B für zwei Mengen sei: A [mm] \times [/mm] B={(a,b):a [mm] \in [/mm] A,b [mm] \in [/mm] B}
(A [mm] \times B)^{c}=(A^{c} \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \times B^{c}) \cup (A^{c} \times B^{c} [/mm] ) |
Also das Problem hab ich schon Graphisch gelöst und verstanden. Jetzt muss ich das ganze noch Formal machen. Ich habe vor die linke Seite mit A zu benennen und die Rechte mit B, um dann zu zeigen das A [mm] \subset [/mm] B ist und B [mm] \subset [/mm] A.
Aber welche Bedingung muss erfüllt sein damit ich sagen kann das A eine Teilmenge aus B ist?
Edit: A=(A [mm] \times B)^{c}
[/mm]
x [mm] \in [/mm] (A [mm] \times B)^{c} \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B)
--> [mm] (A^{c} \times [/mm] B) = x [mm] \in A^{c} [/mm] ;x [mm] \not\in [/mm] B
(A [mm] \times B^{c} [/mm] ) = x [mm] \not\in [/mm] A ;x [mm] \in B^{c}
[/mm]
[mm] (A^{c} \times B^{c} [/mm] ) = x [mm] \in A^{c} [/mm] ; x [mm] \in B^{c}
[/mm]
Reicht das um zu zeigen das A [mm] \subset [/mm] B ist?
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> A und B für zwei Mengen sei: A [mm]\times[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B={(a,b):a [mm]\in[/mm] A,b
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
> (A [mm]\times B)^{c}=(A^{c} \times[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\times B^{c}) \cup (A^{c} \times B^{c}[/mm]
> )
> Also das Problem hab ich schon Graphisch gelöst und
> verstanden. Jetzt muss ich das ganze noch Formal machen.
> Ich habe vor die linke Seite mit A zu benennen und die
> Rechte mit B, um dann zu zeigen das A [mm]\subset[/mm] B ist und B
> [mm]\subset[/mm] A.
Hallo,
verwende nicht denselben Buchstaben für zwei verschiedene Sachen. Das gibt ganz schnell Chaos. (Es gibt ja auch gnug Buchstaben, so daß es kein Problem ist, ab und zu einen frischen zu nehmen.
In der Sache allerdings hast Du recht. Du mußt zeigen
1. (A [mm]\times B)^{c} ) \subseteq (A^{c} \times[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\times B^{c}) \cup (A^{c} \times B^{c})[/mm]
2. [mm] (A^{c} \times [/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\times B^{c}) \cup (A^{c} \times B^{c})[/mm] [mm] \subseteq [/mm] (A [mm][mm] \times B)^{c} [/mm] )
> Edit: A=(A [mm]\times B)^{c}[/mm]
>
> x [mm]\in[/mm] (A [mm]\times B)^{c} \Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B)
> --> [mm](A^{c} \times[/mm] B) = x [mm]\in A^{c}[/mm] ;x [mm]\not\in[/mm] B
> (A [mm]\times B^{c}[/mm] ) = x [mm]\not\in[/mm] A ;x [mm]\in B^{c}[/mm]
>
> [mm](A^{c} \times B^{c}[/mm] ) = x [mm]\in A^{c}[/mm] ; x [mm]\in B^{c}[/mm]
>
> Reicht das um zu zeigen das A [mm]\subset[/mm] B ist?
Deine Überlegungen hier sind richtig, auch wenn sie nicht ganz richtig aufgeschrieben sind. Ein Beweis ist es noch nicht.
Den Beweis für 1. gehen wir jetzt mal an.
Zu zeigen:
1. (A [mm]\times B)^{c} ) \subseteq (A^{c} \times[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\times B^{c}) \cup (A^{c} \times B^{c})[/mm]
Man zeig das elementweise, indem man zeigt, daß jedes Element aus (A [mm]\times B)^{c} )auch in (A^{c} \times[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\times B^{c}) \cup (A^{c} \times B^{c})[/mm] liegt.
Beweis: Wir nehmen nun ein Element her. Da es sich hier um Mengen handelt, die Paare von Elementen enthalten, ist unser Element so ein Paar.
Sei [mm] (x,y)\in [/mm] (A [mm][mm] \times B)^{c} [/mm] )
==> [mm] (x,y)\not\in [/mm] AxB (nach Def. des Komplementes)
==> [mm] x\not\in [/mm] A oder [mm] y\not\in [/mm] B
==> [mm] (x\not\in [/mm] A und [mm] (y\not\inB [/mm] oder [mm] y\in [/mm] B)) oder [mm] (y\not\in [/mm] B und [mm] (x\not\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] A))
==> ... (Wenn Du Dir gut überlegt hast, daß das von Zeile zu Zeile stimmt, kannst Du weitermachen und die Sache zum Ende bringen.)
Dann die andere Richtung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Di 21.10.2008 | | Autor: | fecit |
danke! ich probier das gleich mal!
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