Beweis Teilbarkeit Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Ist p eine Primzahl größer 5, so lässt p bei Division durch 6 nur den Rest 1 oder den Rest 5 |
Ich habe so angefangen:
Die Frage bedeutet ja, dass Primzahlen immer 1 größer oder kleiner sind als Vielfache von 6. Also kann man auch, was zu zeigen ist, so ausdrücken:
p = 6n [mm] \pm [/mm] 1
Jetzt könnte man natürlich mit der vollständigen Induktion beweisen (versuchen).
Induktionsanfang:
[mm] p_{1}=11=6*2-1=11
[/mm]
[mm] p_{2}=13=6*2+1=13
[/mm]
Induktionsschritt:
Induktionsbehauptung: [mm] p=6*(n+1)\pm1
[/mm]
Beweis (Versuch):
[mm] 6*(n+1)\pm1 [/mm] = [mm] 6n+6\pm1
[/mm]
[mm] p_{1}=6n-1+6
[/mm]
[mm] p_{2}=6n+1+6
[/mm]
Und jetzt komm ich nicht weiter.
Man müsste doch jetzt wieder eine Primzahl einsetzen um zu gucken ob es funktioniert. Aber ich weiß, es gilt ja gar nicht immer (Also nicht jede Zahl der Form 6n [mm] \pm [/mm] 1 ist eine Primzahl).
Und bei einem ordentlichen Beweis sollte ja alles allgemein bleiben.
Deswegen habe ich auch die Idee schon verworfen eine Tabelle anzulegen, in der Primzahlen markiert werden.
Wie soll ich weiter verfahren? Oder kann ich das auch einfacher beweisen?
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Hallo MatheSckell,
mit Induktion wird das sicher nicht klappen. Dann müsstest Du Primzahlen mit einer allgemeingültigen Methode generieren können.
Dafür ist es aber leicht zu zeigen, dass alle Zahlen
[mm] 0\bmod{6} [/mm] und [mm] 3\bmod{6} [/mm] durch 3 teilbar sind und alle mit
[mm] 0\bmod{6}, 2\bmod{6} [/mm] und [mm] 4\bmod{6} [/mm] durch 2 teilbar.
Diese alle können (mit Ausnahme der 2 und der 3) also nicht prim sein.
Jetzt brauchst Du nur noch einen Weg, das zu zeigen - ich sehe dazu zwei Möglichkeiten. Probiers erst mal selbst und melde Dich wieder, wenn Du gar nicht weiter kommst.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 03.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir teilen p durch 6 mit Rest r:
$p=6m+r$
mit $r [mm] \in \{0,1,2,3,4,5\}$
[/mm]
$r [mm] \in \{0,2,4\}$ [/mm] kommt nicht in Frage. Warum ?
$r=3$ kommt auch nicht in Frage. Warum ?
FRED
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