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Sei [mm]f:RxR\to R[/mm] def iniert durch f((x,y) = x + y für alle (x,y) [mm] \in R x R[/mm]. Dann ist f: surjektiv, denn wenn z [mm] \in [/mm] R, dann gilt (0,z) [mm] \in [/mm] R x R, und es ist f: ((0,z)) = 0 + z. Jedes z [mm] \in [/mm] R besitzt also ein Urbild unter f:.
(RxR soll ein kartesisches Produkt sein)
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Meine Frage bezieht sich auf die Gedankengänge, die der Mathematiker bei der Einführung der Surjektivität und dem Beweis hat. Dass Surjektiv bedeutet, dass die Bilder von R x R, also f(x,y) im Bild von f liegen müssen ist mir klar. Also wenn ich für z eine beliebige Zahl einsetze erhalte ich immer eine relle Zahl. Aber wieso beginnt der beweis schon mit einem kartesischen Produkt? Wieso habe ich nicht irgendeine Zahl sondern ein geordnetes Paar als Teilmenge der Definitionsmenge? Was mich zudem verwirrt ist dann die Addition der Punkte... und wenn ich f: ((0,z)) rechne erhalte ich doch eine lineare Funktion die auf der Y-Achse liegt oder?
Bitte verzeiht den Kuddelmuddel an Fragen aber ich finde keine herangehensweise, die mir das aufdröselt. Ich hab mir nochmal alle Definitionen angeschaut, in verschiedenen Büchern nachgelesen aber komme hier bei diesem Beweis nicht wirklich auf den Punkt. Andere Beispiele die ich für "gewöhnlicher " und praktikabler halte lassen einen mit f: [mm] \IR \to \IR : x \to x^2[/mm] arbeiten - damit komme ich gut zurecht aber hiermit... bin für jeden Tipp und (unkomplizierten)  Denkanstoß mehr als dankbar viele Grüße
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Hallo,
f: [mm] A\to [/mm] B ist surjektiv,
wenn es zu jedem Element b aus B ein Element a aus A gibt, welches darauf abgebildet wird.
Deine Funktion f bildet aus der Menge [mm] \IR\times \IR [/mm] (Menge der Zahlenpaare) in die Menge [mm] \IR [/mm] (Menge der Zahlen) ab,
und zwar tut die Abbildung das so:
f(x,y):=x+y.
Um zu prüfen, ob f surjektiv ist, müssen wir nachschauen, ob wir zu jeder beliebigen Zahl [mm] z\in \IR [/mm] ein Zahlenpaar finden, welches darauf abgebildet wird.
In Deinem Beweis wird nun ein beliebiges [mm] z\in \IR [/mm] hergenommen.
Benötigt wird nun ein Element aus [mm] \IR\times\IR, [/mm] welches darauf abgebildet wird.
Man kann sich überlegen, daß (0,z) solch ein Zahlenpaar ist, welches auf z abgebildet wird, und damit man so richtig überzeugt, rechnet man vor
f(0,z)=0+z=z.
Für jedes [mm] z\in \IR [/mm] findet man also ein passendes Zahlenpaar in [mm] \IR\times\IR, [/mm] welches darauf abgebildet wird.
Also ist f surjektiv.
LG Angela
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> Sei [mm]f:RxR\to R[/mm] def iniert durch f((x,y) = x + y für
> alle (x,y) [mm] \in R x R[/mm]. Dann ist f: surjektiv, denn wenn
> z [mm]\in[/mm] R, dann gilt (0,z) [mm]\in[/mm] R x R, und es ist f:
> ((0,z)) = 0 + z. Jedes z [mm]\in[/mm] R besitzt also ein Urbild
> unter f:.
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> (RxR soll ein kartesisches Produkt sein)
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> Meine Frage bezieht sich auf die Gedankengänge, die der
> Mathematiker bei der Einführung der Surjektivität und dem
> Beweis hat. Dass Surjektiv bedeutet, dass die Bilder von R
> x R, also f(x,y) im Bild von f liegen müssen ist mir klar.
> Also wenn ich für z eine beliebige Zahl einsetze erhalte
> ich immer eine relle Zahl. Aber wieso beginnt der beweis
> schon mit einem kartesischen Produkt? Wieso habe ich nicht
> irgendeine Zahl sondern ein geordnetes Paar als Teilmenge
> der Definitionsmenge? Was mich zudem verwirrt ist dann die
> Addition der Punkte... und wenn ich f: ((0,z)) rechne
> erhalte ich doch eine lineare Funktion die auf der Y-Achse
> liegt oder?
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> Bitte verzeiht den Kuddelmuddel an Fragen aber ich finde
> keine herangehensweise, die mir das aufdröselt. Ich hab
> mir nochmal alle Definitionen angeschaut, in verschiedenen
> Büchern nachgelesen aber komme hier bei diesem Beweis
> nicht wirklich auf den Punkt. Andere Beispiele die ich für
> "gewöhnlicher " und praktikabler halte lassen einen mit
> f: [mm] \IR \to \IR : x \to x^2[/mm] arbeiten - damit komme ich
> gut zurecht aber hiermit... bin für jeden Tipp und
> (unkomplizierten) Denkanstoß mehr als dankbar viele
> Grüße
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"Man kann sich überlegen, daß (0,z) solch ein Zahlenpaar ist, welches auf z abgebildet wird, und damit man so richtig überzeugt, rechnet man vor
f(0,z)=0+z=z."
--> entspricht die Variable y des geordneten Paares (x,y) = (0,z) dann y=z?
vielen dank für das verständliche Ausformulieren!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mo 20.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> "Man kann sich überlegen, daß (0,z) solch ein Zahlenpaar
> ist, welches auf z abgebildet wird, und damit man so
> richtig überzeugt, rechnet man vor
> f(0,z)=0+z=z."
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> --> entspricht die Variable y des geordneten Paares (x,y) =
> (0,z) dann y=z?
wenn Du [mm] $x=0\,$ [/mm] und [mm] $y=z\,$ [/mm] setzt, dann ist
[mm] $f((x,y))=x+y=0+z=z\,.$
[/mm]
Ich finde es eigentlich nicht gut, wenn jemand lernt, dass er für
$f [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR$
[/mm]
dann für $(x,y) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] direkt [mm] $f(x,y)\,$ [/mm] schreiben soll - das ist in Wirklichkeit
nämlich schon eine Abkürzung/Konvention.
Wenn ich allgemeiner eine Abbildung $g [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ habe, schreibe ich ja auch
nicht (direkt) [mm] $g\,a$ [/mm] für den Funktionswert von [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,,$ [/mm] sondern
halt [mm] $g(a)\,.$ [/mm] (Ich glaube, z.B. in der Kategorientheorie ist die Notation [mm] $g\,a$
[/mm]
tatsächlich verbreitet; aber das nur nebenher - und natürlich hat sie auch
in der linearen Algebra hin und wieder ihren Auftritt...!)
So ist z.B. $(2,3) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] (wegen $2 [mm] \in \IR$ [/mm] und $3 [mm] \in \IR$), [/mm] aber ich würde
erstmal
[mm] $f(\;(2,3)\;)=2+3$
[/mm]
schreiben; warum: Setze mal [mm] $a:=(2,3)\,$ [/mm] und schreibe [mm] $f(\;a\;)$ [/mm] ganz aus! Dass man
(relativ schnell) einfach (etwa oben)
[mm] $f(x,y):=f(\;(x,y)\;)$
[/mm]
definieren wird, steht auf einem anderen Blatt.
(Beachte, dass oben [mm] $f(\;(x,y)\;)=x+y\,$ [/mm] per Definitionem gilt!)
> vielen dank für das verständliche Ausformulieren!
Zur "Findung" eines "passenden Urbildobjekts": Wenn Du
[mm] $\textbf{\blue{z}} \in \IR$
[/mm]
vorgegeben hast (das ist FEST, also *parametermäßig*!), dann suchst Du
doch (wenigstens) ein Paar [mm] $\red{(x,y)} \in \IR \times \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $f(\;\red{(x,y)}\;)=\textbf{\blue{z}}\,.$
[/mm]
Wir suchen also ein Paar [mm] $\red{(x,y)} \in \IR \times \IR$ [/mm] mit
[mm] $x+y=\textbf{\blue{z}}\,.$
[/mm]
Lösen wir das nach [mm] $y\,$ [/mm] auf:
[mm] $y=\textbf{\blue{z}}-x\,.$
[/mm]
Das ist EINE Gleichung mit 2 Unbekannten (nämlich [mm] $x,y\,$). [/mm] Wählst Du nun [mm] $x:=0\,,$
[/mm]
so wird sich in notwendiger (aber vor allem sogar auch in hinreichender) Weise
[mm] $y=\textbf{\blue{z}}\,$ [/mm] ergeben.
Frage I: Du findest auch Paare $(x,y) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] mit [mm] $f(\;(x,y)\;)=\textbf{\blue{z}}\,,$ [/mm] wobei
[mm] $x:=1\,$ [/mm] gesetzt werden kann. Wie sieht in diesem Falle dann [mm] $y\,$ [/mm] aus?
Frage II: Angenommen, es sei weiterhin [mm] $f(\,(x,y)\,):=f(x,y):=x+y\,,$ [/mm] aber es
sei
$f [mm] \colon \IR \times [2,\infty) \to \IR\,.$
[/mm]
Ist [mm] $f\,$ [/mm] dann weiterhin surjektiv?
Hinweis: Bzgl. der letzten Frage ist es *vielleicht* sinnvoller, oben nach
[mm] $x\,$ [/mm] anstatt nach [mm] $y\,$ [/mm] aufzulösen.
Setze dann einfach mal $y [mm] \in [2,\infty)$ [/mm] *fest*! (Du könntest [mm] $y=\pi$ [/mm] wählen, aber
es geht auch einfach mit [mm] $y:=2\,$ [/mm] oder [mm] $y:=3\,$ [/mm] oder ...)
Gruß,
Marcel
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