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| Aufgabe | | f sei über dem intervall [a;b] differenzierbar und nicht positiv. F sei eine Stammfunktion von f. Weisen Sie nach, dass für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [a;b] gilt: A=F(a)-F(b). |
Hallo,
zu dieser Aufgabe ist auch noch ein Bild abgedruckt, welches eine nicht eindeutige Funktion im negativen Bereich zeigt.
Generell habe ich schon eine Idee, wie ich das beweisen kann, jedoch weiß ich nicht, ob ich mir zu der abgebildeten Funktion eine Funktionsgleichung f(x)=... ausdenken kann?
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet!
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Hallo,
nein nein, eine Funktionsgleichung sollst du dir nicht ausdenken. Du sollst es ganz allgemein machen.
Sei also f(x)<0 für alle [mm] x\in[a,b]. [/mm] Dann gilt auch für das Integral: [mm] \int_a^bf(x)dx<0. [/mm] (negativer Flächeninhalt? Das ist nicht unser Ziel.
Nun könntest du aber auch f(x) an der x-Achse spiegeln und dabei bedenken, dass dann f(x) übergeht in -f(x). Wenn du jetzt noch die Eigenschaft des Integrals
[mm] \int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx
[/mm]
kennst, dann bist du schon schon am Ziel deiner Träume.
Kannst du den Beweis also beenden?
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Ist mit 'Eigenschaft des Integrals' das gemeint:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}= [/mm] [F(x)]ba (b oben; a unten)= F(b)-F(a)??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Sa 30.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ist mit 'Eigenschaft des Integrals' das gemeint:
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> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=[/mm] [F(x)]ba (b oben; a unten)=
> F(b)-F(a)??
Ja
FRED
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aber wie beweist man damit die Aufgabe? Muss es dann noch heißen:
[mm] -\integral_{b}^{a}{f(x) dx}=[F(x)]ab= [/mm] F(b)-F(a) ???
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Hi,
im prinzip hast du ja -(-f(x)). Und damit klappt es ja dann.
Du willst ja den Flächeninhalt betrachten. Daher sollte der Graph von f(x) über der x-Achse verlaufen. Daher das erste Minus. Damit du aber an der Funktion nichts änderst, musst du nochmal mit Minus eins multiplizieren...
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