Beweis Richtungs-Abl. Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:37 So 24.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Zeigen Sie für orthogonale Richtungen $ v $ und $ w $ gilt:
[mm] {D_v}^2(f) + {D_w}^2(f) = grad f * grad f [/mm] |
Mein einziger Ansatz ist, dass ich erstmal alles in die Summenschreibweise umgeformt habe:
[mm] v*w=0 \gdw \summe_{i=1}^{n} v_i*w_i = 0 [/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{n}f_{x_i}*v_i)^2 + (\summe_{i=1}^{n}f_{x_i}*w_i)^2 = \summe_{i=1}^{n}{f_{x_i}}^2 [/mm]
Und jetzt komme ich leider überhaupt nicht weiter...
Hat jemand ne Idee?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 So 24.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
$f(x,y,z)=z$
[mm] $\mathrm{grad} f=\vektor{0\\0\\1}$
[/mm]
[mm] $v=\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
[mm] $w=\vektor{0\\1\\0}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0=1$
Vielleicht überseh ich was, aber das sieht wie ein Gegenbeispiel aus, oder nicht?
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 So 24.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hi,
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> [mm]f(x,y,z)=z[/mm]
>
> [mm]\mathrm{grad} f=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> [mm]v=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
> [mm]w=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow 0=1[/mm]
>
> Vielleicht überseh ich was, aber das sieht wie ein
> Gegenbeispiel aus, oder nicht?
>
> ciao
> Stefan
Sieht ganz danach aus.
Ich hab die vage Vermutung, dass die Gleichung nur im R2 gilt... werde das gleich mal überprüfen...
Danke aber für den Hinweis, das hatte ich so nicht gesehen... :)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 So 24.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
Ich hab jetzt eine Lösung gefunden:
[mm] {D_v}^2(f) + {D_w}^2(f) = grad f * grad f \gdw ||grad f||^2 cos^2 (\varphi) + ||grad f||^2 cos^2 (\bruch{3\pi}{2}-\varphi) = ||grad f||^2 \gdw ||grad f||^2(cos^2 (\varphi) + cos^2 (\bruch{3\pi}{2}-\varphi)) = ||grad f||^2(cos^2 (\varphi) + sin^2 (\varphi)) = ||grad f||^2 (1) = ||grad f||^2 [/mm] qed
Allerdings gilt das ja nur, wenn alle Vektoren v, w, und grad f in einer Eben liegen. Also gilt es uneingeschränkt nur für den $ [mm] \IR^2 [/mm] $.
Ich glaube, so müsste es stimmen, aber ich würd mich freuen, wenn mir das jemand bestätigen könnte :)
thx
B
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich nehm mal an, daß [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel zw. Dem Gradienten [mm] $\nabla [/mm] f$ und v sein soll. Aber wieso dann [mm] $\frac [/mm] 32 [mm] \pi -\varphi$? [/mm] Mein geometrisches Vorstellungsvermögen ist um die Uhrzeit zerschossen, aber zw. den beiden muß doch kein rechter Winkel sein (z.B. [mm] $\varphi=\frac \pi [/mm] 4$).
Es geht auch direkt mit Vektoren:
OBdA gelte [mm] $\|v\|_2=\|w\|_2=1$
[/mm]
Dann ist die Richtungsableitung [mm] $D_v(f)=\nabla f^t [/mm] v$ (hier würde sonst die Länge von v wegnormiert. Ich wollte nur nicht die Normierung die ganze Zeit mit mir rumschleppen)
Also ist [mm] $D_v^2(f)+D_w^2(f)=(\nabla f^t v)^2+(\nabla f^t w)^2 [/mm] = [mm] \nabla f^tvv^t\nabla f+\nabla f^tww^t\nabla f=\nabla f^t(vv^t+ww^t)\nabla [/mm] f$
[mm] ($\nabla [/mm] f^tv$ ist eine reelle Zahl, also ist [mm] $\nabla f^tv=v^t\nabla [/mm] f$)
Sind nun v und w orthogonal, so ist
[mm] $(vv^t+ww^t)\nabla f=\nabla [/mm] f$, also
[mm] $\nabla f^t(vv^t+ww^t)\nabla f=\nabla f^t \nabla [/mm] f$
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mo 25.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
Zwischen v und w ist ein rechter Winkel.
$ [mm] \varphi [/mm] $ ist der Winkel zwischen $ grad f $ und v.
Dann ist der Winkel zwischen $ grad f $ und w doch $ [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] - [mm] \varphi [/mm] $. Und für die Berechnung müsste es doch egal sein, ob man den kleineren Winkel oder $ [mm] 2\pi [/mm] $ minus den kleineren Winkel nimmt... oder?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mo 25.04.2011 | | Autor: | Blech |
Aber wenn w in die entgegengesetzte Richtung zeigen würde, hättest Du da ein "-" übersehen, oder? Spielt nur hier keine Rolle, weil quadriert wird.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 26.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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