Beweis Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
Man beweise, daß ein normiertes Polynom f [mm] \in [/mm] Z[x], welches keine ganzzahlige
Nullstelle besitzt, auch keine rationale Nullstelle besitzt.
also habe erstmal aufgeschrieben,wie man ein Poynom konstruieren kann
[mm] \summe_{i=0}^{n} a_{k} x^{k} \in \IZ[x]. [/mm] So eine rationale Zahl habe wie folgt dargestellt p/q [mm] \in \IQ [/mm] mit p und q [mm] \in \IZ [/mm] und ggt(p,q) = 1.
f(p/q) = 0 und p/ [mm] a_{0} [/mm] und q/ [mm] a_{n} [/mm] sagt ein Satz.
enn das Poylnom normiert ist, dann ist [mm] a_{n} [/mm] = 1 und q teilt dieses, also ist q=1 und daraus folgt dann f(p) = 0
Aber das muss ich noch beweisen, und da hängt es wieder mal, wäre nett,wenn jemand seinen Senf dazu gibt...danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Fr 28.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Man beweise, daß ein normiertes Polynom f [mm]\in[/mm] Z[x], welches
> keine ganzzahlige
> Nullstelle besitzt, auch keine rationale Nullstelle
> besitzt.
>
> also habe erstmal aufgeschrieben,wie man ein Poynom
> konstruieren kann
> [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{k} x^{k} \in \IZ[x].[/mm] So eine
> rationale Zahl habe wie folgt dargestellt p/q [mm]\in \IQ[/mm] mit p
> und q [mm]\in \IZ[/mm] und ggt(p,q) = 1.
> f(p/q) = 0 und p/ [mm]a_{0}[/mm] und q/ [mm]a_{n}[/mm] sagt ein Satz.
> enn das Poylnom normiert ist, dann ist [mm]a_{n}[/mm] = 1 und q
> teilt dieses, also ist q=1 und daraus folgt dann f(p) = 0
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> Aber das muss ich noch beweisen, und da hängt es wieder
> mal, wäre nett,wenn jemand seinen Senf dazu gibt...danke
>
Hallo Phlipper
So weit ich sehe, hast du die Aufgabe gelöst.
Oder was musst du noch genau beweisen?
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
p/ [mm] a_{0} [/mm] und q/ [mm] a_{n} [/mm] muss ich zeigen, denn den Satz hatten wir nicht in der Vorlesung. Ist eigentlich logisch,aber habe gerade keine Idee und da ich den anderen Beweis, ja eigentlich so schön gemacht habe, wäre es schade,wenn ich ihn verändenr müsste, nur weil ich das hier nicht zeigen kann.
Danke Moud für deine nette Hilfe !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Sa 29.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Phlipper
Das geht relativ einfach. Setze einfach [mm] $\frac [/mm] pq$ in das Polynom ein und nütze aus, dass dies eine Nullstelle ist, du erhälst dann eine Gleichung.
Dann multiplizierst du die Gleichung mit [mm] $q^n$, [/mm] damit nur noch ganze Zahlen vorkommst.
Aus der entstehenden Gleichung kannst du relativ einfach schliessen, dass [mm] $p|a_0$ [/mm] und [mm] $q|a_n$.
[/mm]
Nimm einfach den Summanden, der [mm] $a_0$ [/mm] (rsp. [mm] $a_n$) [/mm] enthält auf die andere Seite der Gleichung und klammere p (rsp. q) auf der anderen Seite aus.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 30.01.2005 | | Autor: | Phlipper |
[mm] a_{0} q^{n} [/mm] + [mm] a_{1} q^{n-1}p [/mm] + ... + [mm] a_{n} p^{n}= [/mm] 0 ergibt sich ja dann.
- [mm] a_{0} q^{n} [/mm] = p [mm] (a_{1} q^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n} p^{n-1}
[/mm]
Ich zeige ja, dass p [mm] a_{0} [/mm] teilt indem es ein x gibt, so dass [mm] a_{0} [/mm] = p*x ist. x ist ja in dem Fall [mm] (a_{1} q^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n} p^{n-1}. [/mm] Aber das stört doch jetzt noch das [mm] q^{n} [/mm] oder nicht ? Aber da kann ich ja schreiben [mm] a_{0} [/mm] = p*x/q oder ??
Nochmal danke für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mo 31.01.2005 | | Autor: | moudi |
> [mm]a_{0} q^{n}[/mm] + [mm]a_{1} q^{n-1}p[/mm] + ... + [mm]a_{n} p^{n}=[/mm] 0 ergibt
> sich ja dann.
> - [mm]a_{0} q^{n}[/mm] = p [mm](a_{1} q^{n-1}[/mm] + ... + [mm]a_{n} p^{n-1}
[/mm]
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> Ich zeige ja, dass p [mm]a_{0}[/mm] teilt indem es ein x gibt, so
> dass [mm]a_{0}[/mm] = p*x ist. x ist ja in dem Fall [mm](a_{1} q^{n-1}[/mm] +
> ... + [mm]a_{n} p^{n-1}.[/mm] Aber das stört doch jetzt noch das
> [mm]q^{n}[/mm] oder nicht ? Aber da kann ich ja schreiben [mm]a_{0}[/mm] =
Weil p und q teilerfremd sind, kann p also [mm] $q^n$ [/mm] nicht teilen. Also muss p die Zahl [mm] $a_0$ [/mm] teilen.
> p*x/q oder ??
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> Nochmal danke für deine Hilfe
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