Beweis Multinomialformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 Fr 25.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe bis jetzt immer ein bisschen bei einer Mathematik aufgabe verstanden...bei der folgenden kapier ich gar nichts mehr! Ich wäre sehr froh für eine Erklärung...
Für einen sogenannten Multiindex [mm] \alpha=(\alpha(1),...,\alpha(n)) \in \IN^{m}, [/mm] wobei m [mm] \ge [/mm] 2, erklärt man die Länge [mm] |\alpha| [/mm] durch [mm] |\alpha|:=\summe_{j=1}^{m}\alpha(j) [/mm] und setzt [mm] \alpha!:=\produkt_{j=1}^{m}\alpha(j)!.
[/mm]
Beweisen Sie die Multinomialformel: Für alle x(1),...,x(m) [mm] \in \IR [/mm] ist.
[mm] (\summe_{j}^{m} x(j))^{k} [/mm] = [mm] \summe_{|\alpha| = k}^{} \bruch{k!}{\alpha!} \produkt_{j=1}^{m} (x(j))^{\alpha(j)}, [/mm] k [mm] \in \IN,
[/mm]
wobei [mm] \summe_{|\alpha| = k}^{} [/mm] die Summe über alle Multiindizes der Länge k bezeichnet.
BOA!!! Soll das mal einer verstehen...?
Ich weiss was ein mal ein plus ein summenzeichen und das alles ist, nur versteh ich trotzdem nichts.
DANKE!
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:20 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo qsxqsx,
ja, das sieht erstmal sehr wüst aus.... aber so dramatisch ist es gar nicht.
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) diesen Beweis an: Das ist genau deine Aufgabe, allerdings nennen die $a$, was bei dir $x$ heißt.
Den Induktionsanfang ($m=2$) solltest du hinkriegen. Das ist im Prinzip der binomische Lehrsatz.
Beim Induktionsschritt werden zunächst zwei Sachen definiert: [mm] $\alpha ':=(\alpha_2,\ldots ,\alpha_{m+1})$ [/mm] und [mm] $b:=\sum_{j=2}^{m+1}x_j^{\alpha _j}$ [/mm] - hier wird einfach das [mm] $\alpha_1$ [/mm] "weggeschnitten".
Außerdem wird bewiesen, dass [mm] $\frac{k!}{\alpha!}={k\choose \alpha_1} \frac{(k-\alpha_1)!}{\alpha'!}$ [/mm] (Das ist ganz leicht - schreibe den Binomialkoeffizienten aus, dann steht es schon da...)
Jetzt zum eigentlichen Beweis (auf Seite 72 des Links von oben in der Mitte):
Zeile 1: das letzte "=" ergibt sich aus dem Induktionsanfang ($m=2$).
Zeile 2: hier wird die Induktionsvoraussetzung angewendet mit [mm] $k\to k-\alpha_1$, $\alpha\to \alpha'$.
[/mm]
Zeile 3: da in der zweiten Summe nicht über [mm] $\alpha_1$ [/mm] summiert wird, kann man das [mm] ${k\choose \alpha_1}x_1^{\alpha_1}$ [/mm] reinziehen.
Zeile 4: [mm] $\sum_{|\alpha'|=k-\alpha_1^}$ [/mm] lässt sich auch schreiben als [mm] $\sum_{{\alpha_2,\ldots ,\alpha_{m+1}=0}\atop {\alpha_2+\ldots +\alpha_{m+1}=k-\alpha_1}}^{k-\alpha_1}$. [/mm] Es wird also über alle [mm] $\alpha_i$ [/mm] ($i=2\ ...\ m+1$) von 0 bis [mm] $k-\alpha_1$ [/mm] summiert, wobei die Summe [mm] $|\alpha'|=\alpha_2+\ldots +\alpha_{m+1}$ [/mm] gleich [mm] $k-\alpha_1$ [/mm] ist. Nun wird aber diese Summe wiederum über [mm] $\alpha_1$ [/mm] von 0 bis $k$ summiert... Beide Summen zusammen ergeben dann [mm] $\sum_{|\alpha|=k}\ldots$.
[/mm]
Der letzte Schritt ist sicherlich der schwierigste (und nicht ganz leicht zu vertsehen). Geh den Beweis ein paar Mal durch, dann wird das schon... Ansonsten frag hier einfach nochmal nach.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Fr 25.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo! Danke vielmals für den Aufwand!
...du hast mir genau das erklärt was ich eigentlich nicht verstanden habe. Trotzdem habe ich noch eine Frage zu "Zeile 4". Ich glaube du hast das sehr gut erklärt, ich kapiers trotzdem noch nicht ganz, dieses Summenzeichen [mm] \summe_{|\alpha| = k}^{}, [/mm] wie wird hier aufsummiert? Und wieso hat das keine obere Grenze?
Gruss Christian
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Hiho,
das Summenzeichen hat eine "obere Schranke", halt nur keine offensichtliche 
> [mm]\summe_{|\alpha| = k}^{},[/mm] wie wird hier aufsummiert?
Du summierst hier über alle [mm] \alpha, [/mm] für die gilt [mm] $|\alpha| [/mm] = k$.
Nun schaust du mal, wie [mm] $|\alpha|$ [/mm] definiert ist, und alles ist schick.
Überlege dir mal, wie die [mm] $\alpha$ [/mm] aussehen, für die gilt [mm] $|\alpha| [/mm] = 2$, beachte dabei, dass [mm] $\alpha \in \IN^m$ [/mm] ist!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 27.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Ich habe es jetzt so halb nach zehn mal durchlesen und drüber schlafen kapiert. Danke. Eins ist mir aber immer noch unklar, was heisst "über alle [mm] \alpha [/mm] für die gilt | [mm] \alpha| [/mm] = k summieren" ? alle [mm] \alpha [/mm] zusammengezählt die k ergeben, für die wird aufsummiert? ...alle möglichkeiten von [mm] \alpha [/mm] für die die Summe = k ist? Und wo ist jetzt die obere Grenze?
Es ist eine Zumutung eine solche aufgabe einem Ingenieur zu stellen...wir sind schliesslich keine Mathematik Studenten...
Gruss Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 So 27.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
ich habe auch noch eine Seite gefunden, die mir etwas geholfen hat: http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/binomischeformeln/multinomialbeweis.html
nur kapier ich halt noch nicht wie bei dem komischen Summenzeichen aufsummiert wird...
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Huhu,
eine wirkliche "obere Grenze" wirst du natürlich nicht finden, weil sich die [mm] $\alpha$'s [/mm] schlichtweg nicht sinnvoll ordnen lassen.
Aber machen wir doch mal ein Beispiel, setzen $m=3$ und daher gilt [mm] $\alpha \in \IN^3$, [/mm] d.h. [mm] $\alpha [/mm] = [mm] (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.
[/mm]
Soo, nun schauen wir uns mal aus Spaß folgende Summe an:
[mm] $\summe_{|\alpha|=2}\alpha!$
[/mm]
Wir summieren also alle [mm] $\alpha!$ [/mm] für die gilt [mm] $|\alpha| [/mm] = 2$.
Dazu schauen wir uns also erstmal alle [mm] \alpha's [/mm] an, für die das gilt.
Man erkennt leicht, dass das die Tupel $(0,0,2),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(2,0,0)$ erfüllen.
Nun berechne doch mal die Summe 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 28.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hiha,
Super, ein Beispiel!
[mm] \summe_{|\alpha|=2}^{} \alpha [/mm] ! für m = 3
=
(0 + 0 + 2)! + (0 + 1 + 1)! + (0 + 2 + 0)! + (2 + 0 + 0)! + ...
so richtig?
Schönen Tag, Gruss Christian
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Nein, schau dir mal an, wie die Fakultät definiert ist von einem Tupel [mm] \alpha.
[/mm]
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