Beweis Minimum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Fr 16.10.2009 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe 1 | | 5 Punkte gegeben, Ausgleichsparabel gesucht, Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate-->Beweis Minimum? |
| Aufgabe 2 | | Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate -> notwendige Bedingung. |
Hallo,
ich habe Punkte gegeben und Suche die Ausgleichsparabel. Soweit kein Problem, Parabel wurde gefunden, Werte sind richtig. Jetzt geht es nur noch um den Beweis, dass es sich auch um ein Minimum handelt. Also muss ich die Hesse Matrix aufstellen. Allerdings bin ich mir nicht sicher ist ob das alles so richtig ist, da ich nicht auf ein Minimum komme. Wäre nett wenn jemand mal kurz drüberschauen könnte und sagt ob der Ansatz richtig ist.
Zunächst:
[mm] S(a,b,c)=\summe_{i=1}^{n}(y_{i}+ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)^{2} [/mm] muss ein Minimum sein!
Daraus folgt: erste partielle Ableitung = 0
[mm] \bruch{\delta S}{\delta a}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}y_{i}+ax_{i}^{4}+bx_{i}^{3}+cx_{i}^{2})
[/mm]
[mm] \bruch{\delta S}{\delta b}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}y_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}^{2}+cx_{i}^{2})
[/mm]
[mm] \bruch{\delta S}{\delta a}=2\summe_{i=1}^{n}(-y_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c)
[/mm]
Jetzt muss ich das Minimum noch beweisen, also 2.Ableitung > 1. Dazu bilde ich die Hesse Matrix. Also alle 3 Gleichungen jeweils nach a,b,c ableiten oder?
Das Ganze sieht bei mir dann so aus:
[mm] H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}4ax_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}3bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2cx_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} xi_{i} & 0 }
[/mm]
Allerding scheint da ein Fehler zu sein, weil ich so auf kein Minimum komme. Ist die Matrix richtig oder gibt es prinzipiell einen Denkfehler. Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Grüße
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> 5 Punkte gegeben, Ausgleichsparabel gesucht, Gaußsche
> Methode der kleinsten Quadrate-->Beweis Minimum?
> Gaußsche Methode der kleinsten Quadrate -> notwendige
> Bedingung.
> Hallo,
>
> ich habe Punkte gegeben und Suche die Ausgleichsparabel.
> Soweit kein Problem, Parabel wurde gefunden, Werte sind
> richtig. Jetzt geht es nur noch um den Beweis, dass es sich
> auch um ein Minimum handelt. Also muss ich die Hesse Matrix
> aufstellen. Allerdings bin ich mir nicht sicher ist ob das
> alles so richtig ist, da ich nicht auf ein Minimum komme.
> Wäre nett wenn jemand mal kurz drüberschauen könnte und
> sagt ob der Ansatz richtig ist.
>
> Zunächst:
>
> [mm]S(a,b,c)=\summe_{i=1}^{n}(y_{i}+ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)^{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") (*)
> muss ein Minimum sein!
>
> Daraus folgt: erste partielle Ableitung = 0
>
> [mm]\bruch{\delta S}{\delta a}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}y_{i}+ax_{i}^{4}+bx_{i}^{3}+cx_{i}^{2})[/mm] (**)
>
> [mm]\bruch{\delta S}{\delta b}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}y_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}^{2}+cx_{i}^{2})[/mm] (**)
>
> [mm]\bruch{\delta S}{\delta a}=2\summe_{i=1}^{n}(-y_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c)[/mm] (**)
>
> Jetzt muss ich das Minimum noch beweisen, also 2.Ableitung > 1. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") (***)
> Dazu bilde ich die Hesse Matrix. Also alle 3 Gleichungen
> jeweils nach a,b,c ableiten oder?
> Das Ganze sieht bei mir dann so aus:
>
> [mm]H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}4ax_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}3bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2cx_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} xi_{i} & 0 }[/mm]
>
> Allerding scheint da ein Fehler zu sein, weil ich so auf
> kein Minimum komme. Ist die Matrix richtig oder gibt es
> prinzipiell einen Denkfehler. Wäre für Hilfe sehr
> dankbar.
>
> Grüße
Hallo,
da scheint nicht ein Fehler zu sein, sondern eine ganze
Reihe von Fehlern.
(*) Vorzeichenfehler beim quadratischen Glied
(**) alle partiellen Ableitungen sind falsch
(bei der dritten hast du auch links die falsche Variable gesetzt)
(***) Zweite Ableitung größer als Eins ? ... nie davon gehört.
Am besten gehst du zunächst mal über die Bücher bzw.
über deine Notizen und stellst dann bessere Fragen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 16.10.2009 | | Autor: | larifari |
Entschuldigung, haben sich einige Schreibfehler eingeschlichen:
Hier nochmal die richtigen Gleichungen:
Ausgangsgleichung:
[mm] S(a,b,c)=\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)^{2}
[/mm]
Partielle Ableitungen (aus Buch abgeschrieben, sollten jetzt korrekt sein)
[mm] \bruch{\delta S}{\delta a}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}^{2}y_{i}+ax_{i}^{4}+bx_{i}^{3}+cx_{i}^{2})=0
[/mm]
[mm] \bruch{\delta S}{\delta b}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}y_{i}+ax_{i}^{3}+bx_{i}^{2}+cx_{i})
[/mm]
[mm] \bruch{\delta S}{\delta c}=2\summe_{i=1}^{n}(-y_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c)
[/mm]
So, jetzt brauch ich ja die Hinreichende Bedingung für das relative Extrema, in diesem Fall ein Minimum.
Laut meinen Buch soll ich die Hesse Matrix (partielle Ableitung 2.Ordnung nach allen Variablen) aufstellen und dann überprüfen ob die Hauptabschnittsdeterminaten und Eigenwerte positiv sind. Dies habe ich hier getan:
Hesse Matrix:
[mm] H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}4ax_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}3bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2cx_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} xi_{i} & 0 }
[/mm]
Meine Frage wäre ist diese Matrix richtig? Weil ich nach Einsetzen der Werte und berechnen der Eigenwerte nicht auf ein Minimum komme, was ja darauf schließen lässt ein Fehler in der Matrix zu haben!? Leider hab ich jetzt keine andere Möglichkeit das zu überprüfen und bin auch überzeugt, dass die Matrix richtig ist?
Hoffe, dass man mit dieser Frage etwas mehr anfangen kann.
Grüße
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Hallo larifari,
> Entschuldigung, haben sich einige Schreibfehler
> eingeschlichen:
>
> Hier nochmal die richtigen Gleichungen:
>
> Ausgangsgleichung:
> [mm]S(a,b,c)=\summe_{i=1}^{n}(y_{i}-ax_{i}^{2}-bx_{i}-c)^{2}[/mm]
>
> Partielle Ableitungen (aus Buch abgeschrieben, sollten
> jetzt korrekt sein)
>
> [mm]\bruch{\delta S}{\delta a}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}^{2}y_{i}+ax_{i}^{4}+bx_{i}^{3}+cx_{i}^{2})=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta S}{\delta b}=2\summe_{i=1}^{n}(-x_{i}y_{i}+ax_{i}^{3}+bx_{i}^{2}+cx_{i})[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta S}{\delta c}=2\summe_{i=1}^{n}(-y_{i}+ax_{i}^{2}+bx_{i}+c)[/mm]
>
> So, jetzt brauch ich ja die Hinreichende Bedingung für das
> relative Extrema, in diesem Fall ein Minimum.
>
> Laut meinen Buch soll ich die Hesse Matrix (partielle
> Ableitung 2.Ordnung nach allen Variablen) aufstellen und
> dann überprüfen ob die Hauptabschnittsdeterminaten und
> Eigenwerte positiv sind. Dies habe ich hier getan:
>
> Hesse Matrix:
> [mm]H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}4ax_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}3bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2cx_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} 2bx_{i} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} 2ax_{i} & 2\summe_{i=1}^{n} xi_{i} & 0 }[/mm]
>
> Meine Frage wäre ist diese Matrix richtig? Weil ich nach
> Einsetzen der Werte und berechnen der Eigenwerte nicht auf
> ein Minimum komme, was ja darauf schließen lässt ein
> Fehler in der Matrix zu haben!? Leider hab ich jetzt keine
> andere Möglichkeit das zu überprüfen und bin auch
> überzeugt, dass die Matrix richtig ist?
Die Matrix ist nicht richtig.
Für die Hesse-Matrix sind die zweiten partiellen
Ableitungen von S nach a,b,c zu bilden.
> Hoffe, dass man mit dieser Frage etwas mehr anfangen
> kann.
>
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 17.10.2009 | | Autor: | larifari |
Ich komm irgendwie immer noch nicht so richtig klar. Also die 2. partielle Ableitung, bedeutet ja, dass ich die 3 Gleichungen, die ich schon habe nochmal nach a,b,c ableite oder?
Also in der Form:
[mm] \pmat{ aa & ab & ac \\ ab & bb & bc \\ ac & bc & cc }
[/mm]
Wäre dann folgende Hesse Matrix richtig?
[mm] H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{4} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \\ 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2} & 2\summe_{i=1}^{n} x_{i} & 1 }
[/mm]
Ich steh irgendwie auf dem Schlauch.
Grüße
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Hallo larifari,
> Ich komm irgendwie immer noch nicht so richtig klar. Also
> die 2. partielle Ableitung, bedeutet ja, dass ich die 3
> Gleichungen, die ich schon habe nochmal nach a,b,c ableite
> oder?
Ja.
>
> Also in der Form:
>
> [mm]\pmat{ aa & ab & ac \\ ab & bb & bc \\ ac & bc & cc }[/mm]
>
> Wäre dann folgende Hesse Matrix richtig?
>
> [mm]H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{4} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \\ 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2} & 2\summe_{i=1}^{n} x_{i} & 1 }[/mm]
Das Element in der letzten Zeile und letzter Spalte
muß "2n" lauten, da es sich hier um n Wertepaare handelt.
[mm]H(a,b,c)=\pmat{2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{4} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \\ 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{3} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} & 2\summe_{i=1}^{n}x_{i} \\ 2\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2} & 2\summe_{i=1}^{n} x_{i} & \red{2n} } [/mm]
Ansonsten ist die Matrix korrekt.
>
> Ich steh irgendwie auf dem Schlauch.
>
> Grüße
>
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