Beweis Mengengleichheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Man beweise für Mengen A,B:
A Δ B =(A∖B)∪(B∖A) |
| Aufgabe 2 | | Beweisen sie zwei endliche Mengen sind dann gleich, wenn ihre Potenzmengen gleich sind. |
Habe zwei Teilaufgaben bei denen ich leider keinen Einstieg finde.
Aufgabe 1 habe ich in ähnlicher Form schon öfters durchgeführt, indem ich es in x: xeA... umgeformt und dann z.b. per assoziativgesetzt umgestellt habe, bei der symmetrischen differenz weiß ich jedoch nicht, wie ich diese in eine Aussage umformen soll.
Aufgabe 2 finde ich absolut keinen Einstieg. Die Aussage erscheint für mich komplett logisch, habe aber keinen Ansatz mit dem ich einen Beweis durchführen kann.
Wäre äußerst dankbar für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
die symmetrische Differenz ist definiert als [mm] $A\Delta [/mm] B = [mm] (A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B)$.
Damit kannst du dann deinen Weg weiterverfolgen.
Alternativ kann man sich aber auch die Eigenschaft [mm] $A\setminus [/mm] B = A [mm] \cap B^c [/mm] = A [mm] \cap \overline{B}$ [/mm] zunutze machen. Je nachdem, ob ihr das Komplement von B als [mm] B^c [/mm] oder [mm] \overline{B} [/mm] bezeichnet 
Zur b) Eine "genau dann, wenn" - Aussage, besteht immer zwei Richtungen, die zu zeigen sind.
Eine ist trivial, bei der anderen ist es vielleicht auch recht nützlich die Kontraposition der Aussage zu betrachten, die logisch äquivalent ist.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweise für Mengen A,B:
> A Δ B =(A∖B)∪(B∖A)
wie habt Ihr die symmetrische Differenz denn definiert? Das da ist
durchaus eine Definition, aber ich nehme an, dass Ihr sie so definiert habt,
wie Gono es gesagt hat (ich kenne es meist umgekehrt: Das da oben als
Definition, und dann soll man zeigen, dass das, was Gono geschrieben hat,
"das Gleiche" ist).
Wie wäre es mit: Zeige, dass die Definition und die zu zeigende Mengen-
gleichheit nichts anderes aussagen als: (Genau dann), wenn x in der
Menge $A [mm] \triangle [/mm] B$ ist, gilt:
ENTWEDER ist $x [mm] \in [/mm] A$ oder es ist $x [mm] \in [/mm] B$.
(Beachte: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ läßt auch "simultan $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$" zu.)
Zusatz: Welche Forderung kann man an [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] stellen, damit die
symmetrische Differenz von [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] identisch mit $A [mm] \cup [/mm] B$ wird?
> Beweisen sie zwei endliche Mengen sind dann gleich, wenn
> ihre Potenzmengen gleich sind.
Behauptung: Zwei Mengen $X,Y$ erfüllen [mm] $X=Y\,$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $2^X=2^Y$ [/mm] (Notation: [mm] $2^X:=\text{Pot}(X)$).
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] ist trivial.
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Hier bietet sich ein Beweis per Kontraposition an, d.h. anstatt
$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ zeigen wir [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$. [Beachte,
dass "A und B" auch "ihre Seiten" getauscht haben - falls das unklar ist,
schlage bitte nochmal nach, wie ein Beweis per Kontraposition geht. Das
ist elementares Grundwissen, was man im Studium permanent benutzen
können muss!!]
(A ist die Aussage [mm] $X=Y\,$ [/mm] und $B$ ist die Aussage [mm] $2^X=2^Y$.) [/mm]
Nehmen wir an, es gilt NICHT [mm] $X=Y\,,$ [/mm] d.h. $X [mm] \neq [/mm] Y$. Dann gibt es ein Element [mm] $x_0 \in [/mm] X$
mit [mm] $x_0 \notin [/mm] Y$, oder es gibt ein Element [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ mit [mm] $y_0 \notin [/mm] X$.
Denke im ersten Fall über DIE MENGE [mm] $\{x_0\}$ [/mm] nach und im zweiten Fall über [mm] $\{y_0\}$.
[/mm]
P.S. Zur Übung kannst Du auch direkt vorgehen: Gelte [mm] $2^Y=2^X$. [/mm] Bilde
[mm] $\bigcup_{A \in 2^X}A$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{B \in 2^Y} [/mm] B$.
Diese Vereinigungen sind gleich, weil ...? Zudem ist die linke Seite offenbar
nichts anderes als ... und die rechte nichts anderes als ... . (Ergänze die ...
und beweise zusätzlich die ergänzten Behauptungen. Die ersten ... sind
nach Voraussetzung sehr trivial zu ergänzen!)
P.P.S. Mache Dir bitte klar: $X [mm] \neq [/mm] Y$ genau dann, wenn $Y [mm] \setminus [/mm] X [mm] \neq \emptyset$ [/mm] oder $X [mm] \setminus [/mm] Y [mm] \neq \emptyset.$
[/mm]
Anders gesagt: $X [mm] \neq [/mm] Y$ [mm] $\iff$ [/mm] $X [mm] \triangle [/mm] Y [mm] \neq \emptyset$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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