Beweis Matrixgleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mi 06.11.2013 | | Autor: | laupl |
Hallo zusammen,
ich möchte gerne folgende Gleichung beweisen:
[mm]
(\textbf{g}_a^H+\textbf{g}_b^H)\textbf{C}(\textbf{g}_a+\textbf{g}_b)=
\left(
\begin{matrix}
\textbf{g}_a\\\textbf{g}_b
\end{matrix}
\right)^H
\left(
\begin{matrix}
\textbf{C}&\textbf{C}\\
\textbf{C}&\textbf{C}
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\textbf{g}_a\\\textbf{g}_b
\end{matrix}
\right)
[/mm]
Die Vektoren [mm] \textbf{g} [/mm] haben die Dimension [mm][N\times 1][/mm], [mm]\textbf{C}[/mm] ist eine Matrix mit der Dimension [mm][N\times N][/mm]. [mm]H[/mm] bedeutet hermitesch, also komplexkonjugiert und transponiert. Alle Werte sind [mm]\in \mathbb{C}.[/mm]
Sorry, wenn ich das mathematisch nicht perfekt formuliert habe. Wenn was unklar ist, einfach nachfragen.
Ich habe das ganze mit einzelnen Skalaren für [mm]N=2[/mm] durchgerechnet und komme auf diese Gleichung. Ich hätte das aber gerne ganz allgemein bewiesen. Irgendwie weiß ich nicht, wie ich da rangehen soll. Gibt es da eventuell Rechenregeln für die Matrixrechnung mit denen man das ganz einfach zeigen kann?
Danke, Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Hallo zusammen,
> ich möchte gerne folgende Gleichung beweisen:
>
> [mm]
(\textbf{g}_a^H+\textbf{g}_b^H)\textbf{C}(\textbf{g}_a+\textbf{g}_b)=
\left(
\begin{matrix}
\textbf{g}_a\\\textbf{g}_b
\end{matrix}
\right)^H
\left(
\begin{matrix}
\textbf{C}&\textbf{C}\\
\textbf{C}&\textbf{C}
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\textbf{g}_a\\\textbf{g}_b
\end{matrix}
\right)
[/mm]
>
> Die Vektoren [mm]\textbf{g}[/mm] haben die Dimension [mm][N\times 1][/mm],
> [mm]\textbf{C}[/mm] ist eine Matrix mit der Dimension [mm][N\times N][/mm]. [mm]H[/mm]
> bedeutet hermitesch, also komplexkonjugiert und
> transponiert. Alle Werte sind [mm]\in \mathbb{C}.[/mm]
> Sorry, wenn
> ich das mathematisch nicht perfekt formuliert habe.
Das sieht für mich gar nicht schlecht aus !
> Ich habe das ganze mit einzelnen Skalaren für [mm]N=2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> durchgerechnet und komme auf diese Gleichung. Ich hätte
> das aber gerne ganz allgemein bewiesen. Irgendwie weiß ich
> nicht, wie ich da rangehen soll. Gibt es da eventuell
> Rechenregeln für die Matrixrechnung mit denen man das ganz
> einfach zeigen kann?
Hallo laupl
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich erlaube mir, die (Spalten-) Vektoren \textbf{g}_a und \textbf{g}_b zu u und v
abzukürzen. Die "H" ersetze ich durch einen Überstrich (für
die Konjugation) und ein "T" (für Transposition). Dann ist
zu zeigen:
$\ \underbrace{\left(\overline{u}^T+\overline{v}^T\right)*C*(u+v)}_L\ =\ \underbrace{\overline{\pmat{u\\v}}^T*\pmat{C&C\\C&C}*\pmat{u\\v}}_R$
Fangen wir bei der rechten Seite R an. Der dort an erster
Stelle stehende Ausdruck kann etwas anders notiert werden:
$\overline{\pmat{u\\v}}^T\ =\ \pmat{\overline{u}\\ \overline{v}}}^T\ =\ \pmat{\overline{u}& \overline{v}}}$
Damit sieht R neu so aus:
$\ R\ =\ \pmat{\overline{u}& \overline{v}}}*\pmat{C&C\\C&C}*\pmat{u\\v}$
Dies kann man nun nach den gewohnten Regeln für
die Matrixmultiplikation ausmultiplizieren, als
ob die einzelnen Objekte einfache Skalare wären.
Auch den Term L kann man umformen und damit
die Umformungs- "Brücke" zwischen L und R ver-
vollständigen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 06.11.2013 | | Autor: | laupl |
Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Die Anmerkung "(...), als ob die einzelnen Objekte einfache Skalare wären." finde ich zwar wunderbar, aber mir ist nicht klar, warum es korrekt ist das so zu rechnen.
Um von L nach R zu kommen, muss ich auf diese Skalare - die ja keine sind - das Kommutativgesetz anwenden. Und das gilt ja bei der Matrixrechnung nicht.
Grüße
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> Hallo,
> vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> Die Anmerkung "(...), als ob die einzelnen Objekte einfache
> Skalare wären." finde ich zwar wunderbar, aber mir ist
> nicht klar, warum es korrekt ist das so zu rechnen.
> Um von L nach R zu kommen, muss ich auf diese Skalare -
> die ja keine sind - das Kommutativgesetz anwenden. Und das
> gilt ja bei der Matrixrechnung nicht.
Gut, da hast du Recht. Matrizenmultiplikation ist im
Allgemeinen nicht kommutativ. Insofern war mein
Vergleich mit der Multiplikation skalarer Größen etwas
zu salopp.
Soweit ich sehe, braucht man jedoch für die Umformung
von L zu R die Kommutativität gar nicht.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 07.11.2013 | | Autor: | laupl |
Hi,
ich verstehe es leider noch immer nicht.
Bleiben wir mal bei der ersten Antwort von Al-Chwarizmi. Dort steht:
[mm]
\overline{
\left(
\begin{matrix}
\textbf{u}\\\textbf{v}
\end{matrix}
\right)
}^T
=
(\overline{\textbf{u}}\quad \overline{\textbf{v}})
[/mm]
Wenn [mm]\textbf{u}[/mm] und [mm]\textbf{v}[/mm] jeweils Spaltenvektoren mit der Simension [mm][N \times 1][/mm] sind, dann steht hier auf der linken Seite ein Vektor mit der Dimension [mm][1 \times 2N][/mm] und auf der rechten Seite eine Matrix mit der Dimension [mm][N \times 2][/mm]. Schon hier kann es meiner Meinung nach ja nicht richtig sein, die Vektoren einfach wie Skalare zu behandeln. Oder mache ich da einen Denkfehler?
bin dankbar über weitere Tipps, Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] \overline{\vektor{u \\ v}}^T=\overline{\vektor{u_1,\\ .\\ .\\ .\\ u_N \\ v_1 \\. \\. \\ . \\v_N}}^T=\vektor{\overline{u_1},\\ .\\ .\\ .\\\overline{u_N} \\ \overline{u_v} \\. \\. \\ . \\ \overline{v_N}}^T=(\overline{u_1},...,\overline{u_N},\overline{v_1},...,\overline{v_N})=(\overline{u}, \overline{v})
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Do 07.11.2013 | | Autor: | laupl |
Also wenn ich nicht völlig auf dem Schlauch stehe, dann stimmt das letzte Gleichheitszeichen nach wie vor nicht. Selber Grund wie oben.
Ich beginne jetzt noch mal mit der ursprünglichen rechten Seite und forme soweit um, wie ich der Meinung bin, das es korrekt ist:
[mm]
\left(
\begin{matrix}
u\\
v
\end{matrix}
\right)^H
\left(
\begin{matrix}
C&C\\
C&C
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
u\\v
\end{matrix}
\right)
=
(u^H \quad v^H)
\left(
\begin{matrix}
C&C\\
C&C
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
u\\v
\end{matrix}
\right)
=
(u^HC+v^HC \quad u^HC+v^HC)*
\left(
\begin{matrix}
u\\v
\end{matrix}
\right)
=
u^HCu+v^HCu+u^HCv+v^HCv
[/mm]
So, jetzt fehlt wahrscheinlich nur noch eine Kleinigkeit. Aber die sehe ich einfach nicht.
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> Also wenn ich nicht völlig auf dem Schlauch stehe, dann
> stimmt das letzte Gleichheitszeichen nach wie vor nicht.
> Selber Grund wie oben.
>
> Ich beginne jetzt noch mal mit der ursprünglichen rechten
> Seite und forme soweit um, wie ich der Meinung bin, das es
> korrekt ist:
> [mm]
\left(
\begin{matrix}
u\\
v
\end{matrix}
\right)^H
\left(
\begin{matrix}
C&C\\
C&C
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
u\\v
\end{matrix}
\right)
=
(u^H \quad v^H)
\left(
\begin{matrix}
C&C\\
C&C
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
u\\v
\end{matrix}
\right)
=
(u^HC+v^HC \quad u^HC+v^HC)*
\left(
\begin{matrix}
u\\v
\end{matrix}
\right)
=
u^HCu+v^HCu+u^HCv+v^HCv
[/mm]
>
> So, jetzt fehlt wahrscheinlich nur noch eine Kleinigkeit.
> Aber die sehe ich einfach nicht.
Bitte entschuldige eine kleine Frage: warum ziehst du
deine Eingabe über so viele Zeilen hinweg?
Das macht es extrem unattraktiv, da irgendwie etwas
zur weiteren Diskussion zu bearbeiten !
Ich denke allerdings, dass nun wirklich nur noch ein
kleiner Schritt fehlt, nämlich die zweimalige Anwendung
des Distributivgesetzes. Dabei ist noch wichtig zu
bedenken, dass die Addition von Matrizen bzw. Vektoren
natürlich kommutativ ist, im Gegensatz zur Matrix-
multiplikation !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 07.11.2013 | | Autor: | laupl |
Wäre jemand so freundlich mir die letzten Schritte hinzuschreiben. Meine Versuche scheitern immer wieder daran, dass nach bestimmten Schritten die Dimensionen wieder nicht zusammenpassen.
Zu deiner Anmerkung Al-Chw., also erstens finde ich das in mehreren Zeilen halt übersichtlicher, als alles in einer und zweitens wusste ich gar nicht, dass man das direkt bearbeiten kann. Ist ja mein erster Eintrag. Sorry.
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> Zu deiner Anmerkung Al-Chw., also erstens finde ich das in
> mehreren Zeilen halt übersichtlicher, als alles in einer
> und zweitens wusste ich gar nicht, dass man das direkt
> bearbeiten kann. Ist ja mein erster Eintrag. Sorry.
Schon gut. Alles in einer einzigen Zeile erwarte ich ja
auch nicht. Aber man kann es ja z.B. so gliedern:
$ [mm] \left( \begin{matrix} u\\ v \end{matrix} \right)^H \left( \begin{matrix} C&C\\ C&C \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} u\\v \end{matrix} \right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] (u^H \quad v^H) \left( \begin{matrix} C&C\\ C&C \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} u\\v \end{matrix} \right)$
[/mm]
$\ =\ (u^HC+v^HC [mm] \quad u^HC+v^HC)\cdot{} \left( \begin{matrix} u\\v \end{matrix} \right)$
[/mm]
$\ =\ u^HCu+v^HCu+u^HCv+v^HCv $
(Beachte bitte den Originaltext !)
> Wäre jemand so freundlich mir die letzten Schritte
> hinzuschreiben. Meine Versuche scheitern immer wieder
> daran, dass nach bestimmten Schritten die Dimensionen
> wieder nicht zusammenpassen.
[mm] $\quad [/mm] u^HCu+v^HCu+u^HCv+v^HCv$
$\ =\ u^HCu+u^HCv+v^HCu+v^HCv$
$\ =\ [mm] u^H(Cu+Cv)+v^H(Cu+Cv)$
[/mm]
$\ =\ [mm] \pmat{u^H+v^H}\ [/mm] *\ (Cu+Cv)$
$\ =\ [mm] \pmat{u^H+v^H}\ [/mm] *\ C*(u+v)$
Ich sehe nicht, wo da allenfalls die Dimensionen nicht
stimmen sollten ...
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Do 07.11.2013 | | Autor: | laupl |
Hi,
na klar. Dummer Fehler von mir. Vielen Dank für die ganze Hilfe! 
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> Hi,
> na klar. Dummer Fehler von mir. Vielen Dank für die ganze
> Hilfe!
Schön. Danke auch !
(ein paar Dinge betr. Format der Vektoren und Matrizen
musste ich mir wirklich auch etwas genauer klar machen)
LG , Al-Chw.
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