Beweis Markovkette < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 24.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | - Sei Q eine N × N Matrix mit Einträgen aus [0, 1] s.d. alle Zeilensummen von Q kleiner als 1 sind. Zeigen Sie, dass für n → ∞ das Maximum der Einträge von [mm] Q^n [/mm] exponentiell schnell gegen 0 konvergiert.
- Sei T = T1 die Zufallsvariable, die die Rückkehrzeit einer irreduziblen Markoffkette mit Übergangsmatrix P von dem Zustand 1 in den Zustand 1 angibt. Zeigen Sie, dass P(T > n) exponentiell schnell gegen 0 geht.
Hinweis: Ersetzen Sie alle Einträge in der ersten Spalte von P durch Nullen und bezeichnen Sie die dabei entstandene Matrix mit A. Zeigen Sie, dass es ein L ∈ N gibt, so dass alle Zeilensummen von [mm] A^L [/mm] kleiner als 1 sind. Zeigen Sie weiterhin, dass P (T > n) mit der Summe der Einträge der ersten Zeile von [mm] A^n [/mm] übereinstimmt und benutzen Sie den ersten Teil der Aufgabe. |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich diesen Beweis führen soll und freu mich über jeden Lösungsvorschlag.
Zur ersten Teilaufgabe würde ich gerne zeigen, dass die Einträge mit jedem Potenzieren kleiner werden. Allerdings weiß ich nicht, wie ich da am Besten vorgehen soll. Ich habe das Matrixprodukt exemplarisch bei kleinen Matrizen berechnet. Beispielsweise:
[mm] \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} } [/mm] * [mm] \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1,1}^2 + a_{1,2}a_{2,1} & a_{1,2} (a_{1,1} + a_{2,2}) \\ a_{2,1} (a_{1,1} + a_{2,2}) & a_{2,2}^2 + a_{1,2}a_{2,1} }
[/mm]
Weiter gilt ja: [mm] a_{1,1} [/mm] + [mm] a_{1,2} [/mm] < 1 und [mm] a_{2,1} [/mm] + [mm] a_{2,2} [/mm] < 1
Aber wie kann ich zeigen, dass die Einträge immer kleiner werden?
Gruß
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Hallo,
> - Sei Q eine N × N Matrix mit Einträgen aus [0, 1] s.d.
> alle Zeilensummen von Q kleiner als 1 sind. Zeigen Sie,
> dass für n → ∞ das Maximum der Einträge von [mm]Q^n[/mm]
> exponentiell schnell gegen 0 konvergiert.
> Zur ersten Teilaufgabe würde ich gerne zeigen, dass die
> Einträge mit jedem Potenzieren kleiner werden. Allerdings
> weiß ich nicht, wie ich da am Besten vorgehen soll. Ich
> habe das Matrixprodukt exemplarisch bei kleinen Matrizen
> berechnet. Beispielsweise:
>
> [mm]\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} }[/mm] * [mm]\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ a_{1,1}^2 + a_{1,2}a_{2,1} & a_{1,2} (a_{1,1} + a_{2,2}) \\ a_{2,1} (a_{1,1} + a_{2,2}) & a_{2,2}^2 + a_{1,2}a_{2,1} }[/mm]
>
> Weiter gilt ja: [mm]a_{1,1}[/mm] + [mm]a_{1,2}[/mm] < 1 und [mm]a_{2,1}[/mm] + [mm]a_{2,2}[/mm]
> < 1
Ja, das ist OK so.
Leider bringt bei dieser Teilaufgabe ein Beispiel nicht so viel.
Weil die Zeilensummen von $Q$ alle kleiner als 1 sind, kannst du definieren:
$Z := [mm] \max_{i=1,...,N}\sum_{k=1}^{N}q_{ik} [/mm] < 1$
als das Maximum der Zeilensummen. Außerdem gilt natürlich auch:
$M := [mm] \max_{i,j=1,...,N} q_{ij} [/mm] < 1$.
Nun berechnest du
[mm] $(Q^{2})_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{N}q_{ik}*q_{kj} \le [/mm] Z*M$
(wieso gilt das?). Induktiv kannst du dann zeigen:
[mm] $(Q^{n})_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{N}q_{ik}*(Q^{n-1})_{kj} \le Z^{n-1}*M$.
[/mm]
Und damit sieht man, dass die Einträge exponentiell schnell gegen 0 gehen.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Sa 29.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Habe leider im Moment zu viel um die Ohren und konnte die Aufgabe nicht weiter bearbeiten, aber verstehe dein Vorgehen und werde mich ggf. in ein paar Tagen noch einmal melden!
Danke und Gruß
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