Beweis Lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 So 01.08.2010 | | Autor: | Tazz |
| Aufgabe | Sei [mm] \varphi [/mm] eine Lineare Abbildung von V nach W und v,w [mm] \in [/mm] V mit [mm] \varphi(v)=\varphi(w) \not=0. [/mm]
Zeigen oder widerlegen Sie: Wenn v [mm] \not= [/mm] w , dann ist v,w linear unabhängig. |
Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung und dies ist eine alte Klausur-Beweisaufgabe die ich mir dafür nochmal anschauen wollte, es aber nicht konkret beweisen kann..
Ich denke aber v,w ist dann linear unabhängig.
[mm] \varphi [/mm] ist dann offensichtlich nicht injektiv. Aber das hilft wohl gar nicht.
Linear unabhängig heißt ja,
a·v + b·w = 0 aber nur genau dann wenn auch a=b=0 sind.
Aber hilft mir das was?
Hat jemand einen Tipp, wie ich daran gehen kann?
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> Sei [mm]\varphi[/mm] eine Lineare Abbildung von V nach W und v,w [mm]\in[/mm]
> V mit [mm]\varphi(v)=\varphi(w) \not=0.[/mm]
Soll das für alle v,w aus V gelten?
> Zeigen oder widerlegen Sie: Wenn v [mm]\not=[/mm] w , dann ist v,w
> linear unabhängig.
> Ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung und dies ist
> eine alte Klausur-Beweisaufgabe die ich mir dafür nochmal
> anschauen wollte, es aber nicht konkret beweisen kann..
>
> Ich denke aber v,w ist dann linear unabhängig.
>
> [mm]\varphi[/mm] ist dann offensichtlich nicht injektiv.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber das
> hilft wohl gar nicht.
> Linear unabhängig heißt ja,
> a·v + b·w = 0 aber nur genau dann wenn auch a=b=0 sind.
>
> Aber hilft mir das was?
> Hat jemand einen Tipp, wie ich daran gehen kann?
Vorraussetzung [mm] $v\neq [/mm] w$ und [mm] $\varphi(v)=\varphi(w)$
[/mm]
Ich habe die Annahme gemacht v und w seien linear abhängig, d.h.
[mm] $w=\alpha [/mm] v$!
Wir wissen [mm] $0\neq \varphi(v)=\varphi(w)=\varphi(v)=\varphi(\alpha v)\Rightarrow [/mm] ?$
[mm] $\varphi(v)-\varphi(\alpha [/mm] v)=0$
Dann erhälst du etwas für $ [mm] ?=\alpha [/mm] $
Dann analysierst du [mm] $w=\alpha [/mm] v $ Widerspruch!
Es ist spät also noch einmal korrigiert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 So 01.08.2010 | | Autor: | Tazz |
Hallo wieschoo
achsoooo. Ich denke jetzt hab ich es verstanden...
Also damit $ [mm] \varphi(v)-\varphi(\alpha [/mm] v)=0 $ muss [mm] \alpha=1 [/mm] zwangsläufig sein.
Da aber [mm] $w=\alpha*v=1*v=v$ [/mm] wäre, geht das ganze nicht, weil wir $ [mm] v\neq [/mm] w $ vorausgesetzt haben.
Also muss [mm] v\neq\alpha*w [/mm] sein?
Hab ich es richtig verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo wieschoo
>
> achsoooo. Ich denke jetzt hab ich es verstanden...
>
> Also damit [mm]\varphi(v)-\varphi(\alpha v)=0[/mm] muss [mm]\alpha=1[/mm]
> zwangsläufig sein.
> Da aber [mm]w=\alpha*v=1*v=v[/mm] wäre, geht das ganze nicht, weil
> wir [mm]v\neq w[/mm] vorausgesetzt haben.
>
> Also muss [mm]v\neq\alpha*w[/mm] sein?
>
> Hab ich es richtig verstanden?
ja eigentlich fehlt aber noch 'ne Kleinigkeit, und zwar:
Wegen der Voraussetzung kann weder [mm] $v=0\,$ [/mm] noch [mm] $w=0\,$ [/mm] gelten, da $0 [mm] \in \text{kern}(\varphi)\,.$ [/mm]
Nun zu obigem:
1.) Wieschoos Annahme [mm] $w=\alpha*v$ [/mm] ist dann äquivalent zur lin. Abhängigkeit von [mm] $v\not=0,\,w\not=0\,.$ [/mm]
2.) Aus [mm] $\varphi(v)-\varphi(w)=0$ [/mm] und [mm] $w=\alpha*v$ [/mm] folgt [mm] $\varphi((1-\alpha)*v)=0\,,$ [/mm] und damit [mm] $(\alpha-1)v \in \text{kern}(\varphi)\,.$ [/mm] Nach Voraussetzung ist aber $v [mm] \notin \text{kern}(\varphi)\,,$ [/mm] so dass [mm] $\alpha-1=0$ [/mm] gelten muss (beachte, dass dann $0*v=0 [mm] \in \text{kern}(\varphi$)).
[/mm]
D.h.:
Sind [mm] $v,w\,$ [/mm] linear abhängig mit [mm] $\varphi(v)=\varphi(w) \not=0$, [/mm] so folgt [mm] $v=w\,.$ [/mm] Das ist die Kontraposition der Behauptung, womit die Behauptung bewiesen ist.
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Alternativ können wir das ganze auch direkt beweisen:
Wir haben die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $\alpha v+\beta [/mm] w=0$ in [mm] $(\alpha,\beta)$ [/mm] zu bestimmen (wenn diese nur [mm] $(\alpha,\beta)=(0,0)$ [/mm] enthält, dann sind [mm] $v,w\,$ [/mm] linear unabhängig).
Es gilt nun
[mm] $$0=\varphi(0)=\varphi(\alpha*v)+\varphi(\beta*w)=\alpha*\varphi(v)+\beta*\varphi(w)\,,$$
[/mm]
und wegen [mm] $\varphi(v)=\varphi(w)$ [/mm] folgt
[mm] $$0=(\alpha+\beta)*\varphi(w)=\varphi((\alpha+\beta)*w)\,.$$
[/mm]
Da [mm] $\varphi(w)\not=0$ [/mm] ist $w [mm] \notin \text{kern}(\varphi)\,,$ [/mm] aber es muss [mm] $\varph(\alpha+\beta)*w \in \text{kern}(\varphi)$ [/mm] sein. Das geht nur für [mm] $\alpha+\beta=0\,,$ [/mm] also [mm] $\alpha=-\beta\,.$ [/mm] Für [mm] $\alpha \not=0$ [/mm] würde dann aber [mm] $\alpha*v+(-\alpha)*w=0$ [/mm] und damit [mm] $v=w\,$ [/mm] folgen, was nach Voraussetzung nicht gegeben ist. Somit kann nur [mm] $\alpha=0\,$ [/mm] und damit auch [mm] $\beta=-\alpha=0$ [/mm] sein, also [mm] $\IL=\{(0,0)\}$ [/mm] und damit sind [mm] $v,w\,$ [/mm] linear unabhängig.
P.S.:
Ich habe an ein oder zwei Stellen etwas ungünstig argumentiert. Und zwar:
Dass aus [mm] $\varphi(k*x)=0$ [/mm] für $x [mm] \notin \text{kern}(\varphi)$ [/mm] sofort [mm] $k=0\,$ [/mm] folgt, ergibt sich nämlich gerade aus der Beziehung
[mm] $$\blue{0}=\varphi(k*x)\blue{=k*\varphi(x)}\,.$$
[/mm]
Aber die Argumentation oben ist nichtsdestotrotz nicht falsch, verschleiert diesen Sachverhalt (so, wie ich es notiert habe, wohl) nur ein wenig...
Beste Grüße,
Marcel
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