Beweis Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Napkin |
Aufgabenstellung:
Sei [mm] f\geq0 [/mm] und stetig auf [a,b], und sei [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx}=0. [/mm] Man beweise, dass f(x)=0 für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] gilt
Ich bin mir nicht sicher ob der Beweis so ausreichend ist.
Beweis:
Ich arbeite nun erstmal mit einem Satz der lautet:
Sei [mm] f:D\subseteq X\rightarrow\IReine [/mm] stetige Abbildung und [mm] D\subseteq [/mm] X kompakt, dann ist auch f(D)kompakt
Kompakt=Beschränkt und abgeschlossen.
$ [mm] \Rightarrow$ [/mm] ist beschränkt
Also existieren m und M mit:
[mm] m(b-a)\leq s(P,f)\leq S(P,f)\leq [/mm] M(b-a)
Da meine Aufgabenstellung vorraussetzt, dass [mm] f\geq0 [/mm] ist [mm] m\geq0
[/mm]
[mm] \Rightarrow0\leq s(P,f)\leq S(P,f)\leq [/mm] M(b-a) (1.01)
s(P,f) und S(P,f) ( Untersumme und Obersumme)
sind definiert als:
[mm] s(P,f)=\summe_{i=1}^{n}m_{i}\cdot\triangle x_{i}
[/mm]
und
[mm] S(P,f)=\summe_{i=1}^{n}M_{i}\cdot\triangle x_{i}
[/mm]
Wobei
[mm] m_{i}=inf\: [/mm] f(x)
und
[mm] M_{i}=sup\: [/mm] f(x)
(1.01) setzt nun aber gerade vorraus, dass kein [mm] \summe_{i=1}^{n}m_{i}\cdot\triangle x_{i} [/mm] ( keine Untersumme ) kleiner als 0 sein darf
und somit wäre wenn [mm] \summe_{i=1}^{n}M_{i}\cdot\triangle x_{i}>0 [/mm] wäre, dies ein Widerspruch zur Aufgabenstellung da unser Integral dann nicht mehr [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)dx}=0$ [/mm] wäre
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] f muss f(x)=0 sein für alle [mm] x\in[a,b]
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 21.04.2010 | | Autor: | pelzig |
Du brauchst keine Unter-/Obersummen. Wenn [mm] $f(x_0)>0$ [/mm] für ein [mm] $x_0\in[a,b]$, [/mm] dann ist (Stetigkeit) [mm] $f(x)>f(x_0)/2$ [/mm] in einer gewissen Umgebung [mm] $[x_0-\delta,x_0+\delta]\subset[a,b]$ [/mm] um [mm] x_0. [/mm] Dann gilt aber wegen [mm] $f\ge [/mm] 0$ [mm] $$\int_a^bf(t)\ dt\ge\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(t)\ dt\ge\delta\cdot f(x_0)>0$$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Napkin |
Kannst du mir deinen Beweis vielleicht etwas ausführlicher erklären, ich verstehe ihn nicht.
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Ok, angenommen: f(x) ist auf [a,b] nicht konstant 0, dann gibt es ein [mm] $x_0\in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x_0) [/mm] > 0$.
Da f stetig gibt es eine Umgebung [mm] $[x_0-\delta,x_0+\delta]$, [/mm] für die $f(x) > [mm] \bruch{f(x_0)}{2}$ [/mm] gilt, und damit:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x_0 - \delta}{f(x)dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}{f(x)dx} [/mm] + [mm] \integral_{x_0 +\delta}^{b}{f(x)dx} \ge \integral_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}{f(x)dx} \ge \integral_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}{\bruch{f(x_0)}{2}dx} [/mm] > 0$.
Widerspruch.
MFG;
Gono
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