Beweis: Integral-Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist [mm] g(x) \le f(x) [/mm], so gilt auch [mm] \integral_{a}^{b} {g(x) dx} \le \integral_{a}^{b} {f(x) dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe leider keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ansich ist die Aussage ja in sich logisch, doch wie beweise ich sie?
Viele Grüße,
Commotus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Zeigen Sie: Ist [mm]g(x) \le f(x) [/mm], so gilt auch
> [mm]\integral_{a}^{b} {g(x) dx} \le \integral_{a}^{b} {f(x) dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe leider keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen
> soll. Ansich ist die Aussage ja in sich logisch, doch wie
> beweise ich sie?
Nun, schau dir mal die Definition des Integrals an. (Ich schaetze mal du hast da das Riemann-Integral.) Es ist das Supremum ueber alle Summen ueber Zerlegungen. So. Und fuer jede Zerlegung ist die eine Summe groessergleich der anderen, also gilt das auch fuers Supremum. Das musst du jetzt nur noch etwas besser aufschreiben 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Der Begriff des Supremums ist in der Vorlesung nicht gefallen. Auch das Riemannsche Ingetral haben wir nur äußerst kurz thematisiert. Daher kann ich mit deinen Ausführungen leider nicht allzu viel anfangen. Es wäre sehr nett, wenn du mir etwas weiterhelfen könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Der Begriff des Supremums ist in der Vorlesung nicht
> gefallen. Auch das Riemannsche Ingetral haben wir nur
> äußerst kurz thematisiert. Daher kann ich mit deinen
> Ausführungen leider nicht allzu viel anfangen. Es wäre sehr
> nett, wenn du mir etwas weiterhelfen könntest.
Nun, das geht nur wenn du schreibst wie ihr das Integral in der Vorlesung definiert habt. Meine Kristallkugel leidet momentan leider unter akuter Verdunklung
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Wir hatten folgende Definition:
[mm] F_a(x):= \integral_{a}^{x} [/mm] {f(t) dt}
und dann eben den Fundamentalsatz der Diff.- und Integralrechnung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Wir hatten folgende Definition:
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> [mm]F_a(x):= \integral_{a}^{x}[/mm] {f(t) dt}
Nun das ist nicht wirklich eine Definition des Integrals
> und dann eben den Fundamentalsatz der Diff.- und
> Integralrechnung
Die urspruengliche Aufgabe kannst du wie folgt umschreiben (indem du alles auf eine Seite bringst): Gilt $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$, so ist [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx [mm] \ge [/mm] 0$. Wenn du das nicht siehst ueberleg erstmal warum das so ist.
So. Nun ist [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx = [mm] F_a(b)$, [/mm] und [mm] $F_a(a) [/mm] = 0$. Wenn du also zeigen kannst, dass [mm] $F_a(t)$ [/mm] auf $[a, b]$ monoton steigend ist, dann ist [mm] $F_a(b) \ge [/mm] 0$ und du bist fertig.
Nun ist [mm] $F_a(t)' [/mm] = f(t)$ (Fundamentalsatz). Was weisst du jetzt ueber die Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung bei einer differenzierbaren Funktion?
LG Felix
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