Beweis: Int-bereich ist körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei R ein Integritätsbereich. Ist 2 [mm] \le \vmat{ R } \le \infty [/mm] , so ist R ein Körper |
Diesen Beweis würde ich gern führen.
Definitionen
(i) Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier komutativer Ring
(ii) Ein kommutativer Ring, in dem [mm] (R\{0}, \cdot [/mm] ) eine Gruppe ist, heißt
Körper.
meine idee war ein indirekter beweis:
angenommen es gilt nicht
=>
R ist kein Körper => [mm] \infty [/mm] < |R| < 2
R ist Int-bereich => [mm] \exists [/mm] 0 [mm] \in [/mm] R und [mm] \exists [/mm] 1 [mm] \in [/mm] R , dh. es sind wenigstens zwei Element in R
=> Widerspruch zu |R| < 2
wie jedoch komme ich darauf, dass |R| > [mm] \infty [/mm] ?
oder ist es gar so, dass ich das als trivialität vernachlässigen kann, da nunmal nichts größer als [mm] \infty [/mm] sein kann
für ideen und vorschläge bin ich dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Do 16.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei R ein Integritätsbereich. Ist 2 [mm]\le \vmat{ R } \le \infty[/mm]
> , so ist R ein Körper
> Diesen Beweis würde ich gern führen.
>
> Definitionen
> (i) Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier
> komutativer Ring
> (ii) Ein kommutativer Ring, in dem [mm](R\{0}, \cdot[/mm] ) eine
> Gruppe ist, heißt
> Körper.
>
> meine idee war ein indirekter beweis:
>
> angenommen es gilt nicht
> =>
> R ist kein Körper => [mm]\infty[/mm] < |R| < 2
wie kommst du denn darauf?
als hinweis zur aufgabe: sei $a [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{0\}$. [/mm] betrachte die abbildung [mm] $\lambda_a [/mm] :R [mm] \longrightarrow [/mm] R; [mm] \; [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] ax$ kannst du etwas über deren injektivität und surjektivität aussagen (bedenke $R$ ist integritätsring und endlich)?
grüße
andreas
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