Beweis Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Di 19.10.2010 | | Autor: | Wesen |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Seien f:A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C Abbildungen. Wenn beide Abbildungen injektiv (surjektiv, bijektiv) sind, so gilt das auch für g [mm] \circ [/mm] f. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe bei meiner ersten Frage hier im Forum festgestellt, das mir wirklich konstruktive Dinge gesagt worden sind, die mir wirklich sehr weiter geholfen haben, so hoffe ich auch dieses mal auf einen kleinen Anstoß. Da ich leider 2 Jahre mein Studium unterbrechen musste tue ich mich zur Zeit mit dem reinkommen etwas schwer.
Ich habe mir darüber Gedanken gemacht. Mir ist klar was es bedeutet, aber ich weiß trotzdem einfach nicht wie ich anfangen muss.
|
|
| |
|
Hallo Wesen,
> Beweisen Sie: Seien f:A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C Abbildungen.
> Wenn beide Abbildungen injektiv (surjektiv, bijektiv) sind,
> so gilt das auch für g [mm]\circ[/mm] f.
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe bei meiner ersten Frage hier im Forum
> festgestellt, das mir wirklich konstruktive Dinge gesagt
> worden sind, die mir wirklich sehr weiter geholfen haben,
> so hoffe ich auch dieses mal auf einen kleinen Anstoß. Da
> ich leider 2 Jahre mein Studium unterbrechen musste tue ich
> mich zur Zeit mit dem reinkommen etwas schwer.
Nun, am besten ist es, sich erstmal die Definitionen nochmal anzusehen und zu verinnerlichen.
Wenn man die verstanden hat, ist alles halb so wild 
Ich mach's mal für die Injektivität.
Seien also [mm]f,g[/mm] wie oben gegeben und beide injektiv.
Zuerst überlege, von wo nach wo [mm]g\circ f[/mm] abbildet.
[mm]g\circ f[/mm], gelesen g nach f, also wird zuerst f angewendet, dann g
Also [mm]g\circ f:A\overset{f}{\longrightarrow} B\overset{g}{\longrightarrow} C[/mm]
Also bildet die Verkettung [mm]g\circ f[/mm] ab von [mm]A[/mm] nach [mm]C[/mm]
Zu zeigen ist also, dass für alle [mm]x_1,x_2\in A[/mm] mit [mm](g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)[/mm] gilt: [mm]x_1=x_2[/mm]
Dazu benutze die Def. von [mm] \circ [/mm] und die Inj. von f und g
[mm](g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)\gdw g(f(x_1))=g(f(x_2))[/mm]
Nun ist g injektiv, also folgt: [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
Zudem ist f injektiv, also folgt hieraus [mm]x_1=x_2[/mm]
Insgesamt ist also [mm]g\circ f[/mm] injektiv
>
> Ich habe mir darüber Gedanken gemacht. Mir ist klar was es
> bedeutet, aber ich weiß trotzdem einfach nicht wie ich
> anfangen muss.
Nun hast du ein "Muster".
Probiere mal, wie du weiterkommst ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 24.10.2010 | | Autor: | Wesen |
Ich habe es jetzt für die surjektivität bewiesen, weiß aber leider nicht wie ich es bei der bijektiviät machen soll. Bijektiv ist es ja wenn es surjektiv und injektiv ist, aber ich denke nicht das die Antwort so einfach wäre sondenr das ich bestimmt einen Beweis führen muss
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich habe es jetzt für die surjektivität bewiesen, weiß
> aber leider nicht wie ich es bei der bijektiviät machen
> soll. Bijektiv ist es ja wenn es surjektiv und injektiv
> ist, aber ich denke nicht das die Antwort so einfach wäre
> sondenr das ich bestimmt einen Beweis führen muss
[hae]
Ich verstehe dein Problem nicht: richtig sagst du:
bijektiv=inj.+surj.
surj. hast du bewiesen (sagst du), inj. habe ich in der Antwort bewiesen.
Wo ist das Problem?
Was willst du noch mehr zeigen?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 So 24.10.2010 | | Autor: | Wesen |
Hm, ich sehe wahrscheinlich Probleme wo keine sind, weil ich mir nicht vorstellen kann das es damit jetzt getan sein soll, aber eigentlich dachte ich eben auch das es eigentlich ja fertig sein müsste wenn ich nun sage das bijektiv ja eigentlich aus den vorhergehenden Beweisen folgt.
|
|
|
|
