Beweis Infimum < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | "Man kommt dem Supremum einer Menge beliebig nahe" formuliert man formal [mm] korrekt:\emptyset\not=M\subset\IR [/mm] nach oben ebschränkt. Dann gilt: S=supM genau dann, wenn jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] und es existiert ein [mm] m\in\IRM [/mm] mit [mm] S-\varepsilon
Formulieren Sie eine entsprechende Aussage für das Infimum und beweisen sie diese! |
Kann ich für das Infimum folgende Aussage formulieren:
[mm] \emptyset\not=M\subset\IR [/mm] nach unten bebschränkt. Dann gilt: S=infM genau dann, wenn jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] und es existiert ein [mm] m\in\IR [/mm] mit [mm] S-\varepsilon> m\ge [/mm] S.
Kann ich das so formulieren? oder stimmt das nicht?
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Do 18.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> "Man kommt dem Supremum einer Menge beliebig nahe"
> formuliert man formal [mm]korrekt:\emptyset\not=M\subset\IR[/mm]
> nach oben ebschränkt. Dann gilt: S=supM genau dann, wenn
> jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] und es existiert ein [mm]m\in\IRM[/mm] mit
> [mm]S-\varepsilon
[mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach oben beschränkt.
Dann gilt: S=supM genau dann, wenn für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]m\in M\subset\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon\le m\le S[/mm].
>
> Formulieren Sie eine entsprechende Aussage für das Infimum
> und beweisen sie diese!
> Kann ich für das Infimum folgende Aussage formulieren:
> [mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten bebschränkt. Dann
> gilt: S=infM genau dann, wenn jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] und es
> existiert ein [mm]m\in\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon> m\ge[/mm] S.
[mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten beschränkt.
Dann gilt: S=infM genau dann, wenn für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]m\in M\subset\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon\ge m\ge[/mm] S.
edit: Ich bitte vielmals um Entschuldigung, dass ich so einen Quatsch verbreite.
Oh Schande, oh Schande!
Siehe wie es richtig ist.
>
> Kann ich das so formulieren? oder stimmt das nicht?
Stimmt, -- bis auf ein paar kleine Formulierungen, vielleicht auch nur durchs eintippen entstanden.
>
>
> Mathegirl
Gruß
meili
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[mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten bebschränkt. Dann
gilt: S=infM genau dann, wenn jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] und es
existiert ein [mm]m\in\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon> m\ge[/mm] S.
[mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten beschränkt.
Dann gilt: S=infM genau dann, wenn für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm]
existiert ein [mm]m\in M\subset\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon\ge m\ge[/mm] S.
Beweis:
Da in der Formulierung [mm] "\gdw" [/mm] steht muss ich also Hin- und Rückrichtung zeigen.
[mm] "\Rightarrow" [/mm]
[mm] S\le [/mm] M muss nach Voraussetzung gelten. So gilt [mm] S_1\ge [/mm] M und [mm] S\le S_1\le [/mm] M. Es muss gezeigt werden: [mm] S=S_1. [/mm]
Angenommen [mm] S_1>S, [/mm] dann setzt man [mm] \varepsilon=S-S_1 [/mm] und daraus folgt ein m mit [mm] S-\varepsilon= S_1\ge m\ge [/mm] S. Also ist [mm] S_1 [/mm] keine untere Schranke von M. WIDERSPRUCH!
[mm] "\Leftarrow" [/mm]
Sei S=InfM. dann gibt es ein [mm] \delta\le [/mm] M, was nach Definition des Infimums gilt. Ist jetzt [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben und gilt [mm] \delta-\varepsilon\le [/mm] m für alle [mm] m\in [/mm] M dann folgt: [mm] S-\varepsilon\le [/mm] M und [mm] S-\varepsilon> [/mm] S, das heißt S war nicht das Infimum. Also [mm] S-\varepsilon> [/mm] m für mindestens ein [mm] m\in [/mm] M.
So...kann mir jemand sagen ob das so stimmt??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
So wie Du es formuliert hast und wie das auch meili bestätigt hat stimmt es nicht !
Ist S eine untere Schranke von M, so gilt:
S=infM genau dann, wenn es zu jedem $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ ein $ [mm] m\in M\$ [/mm] gibt mit $ [mm] S+\varepsilon>m\$ [/mm]
FRED
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> [mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten bebschränkt. Dann
> gilt: S=infM genau dann, wenn jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] und es
> existiert ein [mm]m\in\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon> m\ge[/mm] S.
> [mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten beschränkt.
> Dann gilt: S=infM genau dann, wenn für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm]
> existiert ein [mm]m\in M\subset\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon\ge m\ge[/mm]
> S.
Hallo,
überarbeite den obigen Absatz inhaltlich und bringe ihn des weiteren in eine sprachliche Form, bei der sich nicht die Fußnägel nach oben rollen.
Auf das Minuszeichen werde ich unten nicht weiter eingehen, der Fehler ist ja inzwischen bekannt.
>
> Beweis:
> Da in der Formulierung " [mm] \gdw" [/mm] steht muss ich also Hin- und
> Rückrichtung zeigen.
Ja.
Mit welcher Richtung beginnst Du nun?
>
> [mm] S\le [/mm] M muss nach Voraussetzung gelten.
Hierunter kann ich mir absolut nichts vorstellen. M ist doch eine Menge.
Wie kann das Supemum (eine reelle Zahl) kleiner als eine Menge sein?
EDIT: na gut, eventuell verwendet Ihr das als abkürzende Scheibweise für [mm] "S\le [/mm] m für alle [mm] m\in [/mm] M."
> So gilt [mm]S_1\ge[/mm] M
Was meinst Du mit "so gilt" ? ist das eine Folgerung, eine Annahme oder was?
Was ist [mm] S_1?
[/mm]
> und
> [mm]S\le S_1\le[/mm] M.
Das wird nicht gut klappen.
Du hattest doch (über die Sinnhaftigkeit denke ich gerade mal nicht nach) [mm] S\le [/mm] M.
Zusammen mit [mm] S_1\ge [/mm] M wird sich wohl kaum [mm] $S\le S_1\le$ [/mm] M ergeben.
> Es muss gezeigt werden: [mm]S=S_1.[/mm]
Weshalb?
> Angenommen [mm]S_1>S,[/mm] dann setzt man [mm]\varepsilon=S-S_1[/mm] und
> daraus folgt ein m
Was ist m und wieso folgt das?
> mit [mm]S-\varepsilon= S_1\ge m\ge[/mm] S. Also
> ist [mm]S_1[/mm] keine untere Schranke von M. WIDERSPRUCH!
Welche Richtung kommt jetzt? Was ist die Voraussetzung, was möchtest Du zeigen?
> Sei S=InfM. dann gibt es ein [mm]\delta\le[/mm] M,
s.o.
> was nach
> Definition des Infimums gilt.
??? Was meinst Du damit? Was gilt nach Def. des Infimums.
Das, was Du oben schreibst, ist ungefähr so sinnvoll, wie wenn ich sage:
"Ich habe zum Frühstück ein Rosinenbrötchen und Stachelbeermarmelade von meiner Mama. Also sehe ich einen Hund."
Ich breche an dieser Stelle mal ab.
> Ist jetzt [mm]\varepsilon>0[/mm]
> gegeben und gilt [mm]\delta-\varepsilon\le[/mm] m für alle [mm]m\in[/mm] M
> dann folgt: [mm]S-\varepsilon\le[/mm] M und [mm]S-\varepsilon>[/mm] S, das
> heißt S war nicht das Infimum. Also [mm]S-\varepsilon>[/mm] m für
> mindestens ein [mm]m\in[/mm] M.
>
>
> So...kann mir jemand sagen ob das so stimmt??
Ja: es stimmt nicht.
Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > "Man kommt dem Supremum einer Menge beliebig nahe"
> > formuliert man formal [mm]korrekt:\emptyset\not=M\subset\IR[/mm]
> > nach oben ebschränkt. Dann gilt: S=supM genau dann, wenn
> > jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] und es existiert ein [mm]m\in\IRM[/mm] mit
> > [mm]S-\varepsilon
> [mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach oben beschränkt.
> Dann gilt: S=supM genau dann, wenn für jedes
> [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]m\in M\subset\IR[/mm] mit
> [mm]S-\varepsilon\le m\le S[/mm].
>
> >
> > Formulieren Sie eine entsprechende Aussage für das Infimum
> > und beweisen sie diese!
> > Kann ich für das Infimum folgende Aussage formulieren:
> > [mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten bebschränkt. Dann
> > gilt: S=infM genau dann, wenn jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] und es
> > existiert ein [mm]m\in\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon> m\ge[/mm] S.
> [mm]\emptyset\not=M\subset\IR[/mm] nach unten beschränkt.
> Dann gilt: S=infM genau dann, wenn für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm]
> existiert ein [mm]m\in M\subset\IR[/mm] mit [mm]S-\varepsilon\ge m\ge[/mm]
> S.
> >
> > Kann ich das so formulieren? oder stimmt das nicht?
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt,
Nein, stimmt nicht !
siehe:
https://matheraum.de/read?i=736439
FRED
> -- bis auf ein paar kleine Formulierungen,
> vielleicht auch nur durchs eintippen entstanden.
> >
> >
> > Mathegirl
> Gruß
> meili
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ach ja stimmt....muss ja "+" sein! aber dann wäre es theoretisch richtig, wenn ich "nur" die "-" zu "+" umändere oder?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> ach ja stimmt....muss ja "+" sein! aber dann wäre es
> theoretisch richtig, wenn ich "nur" die "-" zu "+"
> umändere oder?
So einfach geht das nicht. Was Du hier
https://matheraum.de/read?i=736437
geschrieben hast, ist [mm] Chaos^3
[/mm]
FRED
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:24 Do 18.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Dann erklärt es mir, DAFÜR schreibe ich ja ins Forum! wenn ich alles wüsste, dann bräuchte ich nicht fragen! (logisch!)
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> Dann erklärt es mir, DAFÜR schreibe ich ja ins Forum!
> wenn ich alles wüsste, dann bräuchte ich nicht fragen!
> (logisch!)
>
Hallo,
das ist wirklich logisch.
Wenn Du alles wüßtest, so wäre Dein Studium ein Traum.
Ich befürchte alllerdings, daß es eher ein Alptraum ist.
Wenn Du Dir den von Dir geposteten Beweis nochmal anschaust, dann fällt Dir vielleicht auf, daß bereits der erste Absatz eine Zumutung für den Leser ist.
Und jetzt sollen wir noch überall die Vorzeichen umdrehen und uns dann zusammenreimen, was Du meinen könntest?
Ich sag' jetzt mal, was ich passend fände: daß Du den überarbeiteten Beweis hier präsentieren würdest...
Ich werde ohne jeglichen Anspruch auf Vollständigkeit (!) ein paar kleine Anmerkungen zu Deinem "Beweis" machen, welche Du bei der Überarbeitung berücksichtigen solltest.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dfx |
| Aufgabe | Z.z. Ist [mm] $\emptyset \not= [/mm] M [mm] \subset \IR$ [/mm] nach unten beschränkt, dann gilt:
$s := inf M [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $s+\varepsilon [/mm] > m [mm] \ge [/mm] s$. |
Hallo,
nachdem ich mein Blatt dazu wiederbekommen habe, auf dem ich es auch mit Hin- und Rückrichtung gezeigt hatte, schrieb die Tutorin eine Musterlösung für die Aufgabe an. Allerdings sagte sie auf meine Fragen dazu, dass sie diese auch erst bekommen hätte und selbst noch nicht wirklich daraus schlau geworden ist. Nun weiß ich nicht, ob es in Ordnung geht, aber ich würde sie gerne posten um hier dazu Fragen stellen zu können.
Beweis Angenommen $s'>s$ mit $s' [mm] \le [/mm] m [mm] \forall [/mm] m [mm] \wedge [/mm] s''$ mit $m [mm] \le [/mm] s'': s' [mm] \le [/mm] s''$. Sei [mm] $\varepsilon=\bruch{s'-s}{2}$. [/mm] Dann ex. $m [mm] \in [/mm] M$ speziell $m [mm] \in [/mm] [s, [mm] \bruch{s-s'}{2}]$ [/mm] mit $s + [mm] \varepsilon [/mm] > m [mm] \ge [/mm] s$, aber $m < s'$ ! qed.
Als erstes stach mir das s'' ins Auge. Wozu braucht man das? Ehrlich gesagt versteh ich kaum etwas von dem Beweis, find ihn trotzdem schick. Es ist wohl, wenn man es in der Form zeigt nicht nötig, noch die andere Richtung zu zeigen. Eigentlich hätte ich gern versucht den Beweis noch in eigenen Worten zu interpretieren, aber an der Stelle, wo s' kleiner gleich m sein soll, möcht ich schon meinen, da könnte etwas nicht stimmen und über das "forall" will ich auch nicht recht hinwegkommen, da es sehr ungewöhnlich erscheint.
Daher bitte ich darum, dass jemand bei der Interpretation nachhilft.
Gruss, dfx
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Hallo,
ich hab# Dein "oben" mal gegen ein "unten" ausgetauscht.
> Z.z. Ist [mm]\emptyset \not= M \subset \IR[/mm] nach unten
> beschränkt, dann gilt:
> [mm]s := inf M \gdw \forall \varepsilon > 0 \exists m \in M[/mm]
> mit [mm]s+\varepsilon > m \ge s[/mm].
>
>
> Hallo,
>
> nachdem ich mein Blatt dazu wiederbekommen habe, auf dem
> ich es auch mit Hin- und Rückrichtung gezeigt hatte,
> schrieb die Tutorin eine Musterlösung für die Aufgabe an.
> Allerdings sagte sie auf meine Fragen dazu, dass sie diese
> auch erst bekommen hätte und selbst noch nicht wirklich
> daraus schlau geworden ist.
Ich werde ebenfalls nicht schlau daraus.
Das, was angeschrieben wurde, ist auch keine Musterlösung - es ist allenfalls eine Beweisskizze, und absolut untauglich dafür, in einer Übung an die Tafel geschrieben zu werden.
> Nun weiß ich nicht, ob es in
> Ordnung geht, aber ich würde sie gerne posten um hier dazu
> Fragen stellen zu können.
>
> Beweis Angenommen [mm]s'>s[/mm] mit [mm]s' \le m \forall m \wedge s''[/mm]
> mit [mm]m \le s'': s' \le s''[/mm]. Sei [mm]\varepsilon=\bruch{s'-s}{2}[/mm].
> Dann ex. [mm]m \in M[/mm] speziell [mm]m \in [s, \bruch{s-s'}{2}][/mm] mit [mm]s + \varepsilon > m \ge s[/mm],
> aber [mm]m < s'[/mm] ! qed.
>
> Als erstes stach mir das s'' ins Auge. Wozu braucht man
> das?
Ich sehe auch nicht, daß es für irgendetwas verwendet wird.
> Ehrlich gesagt versteh ich kaum etwas von dem Beweis,
> find ihn trotzdem schick.
Klar, er ist ungemein schick!
Das schicke Aussehen allein reicht allerdings nicht:
wenn ich im Ballkleid in den Stall gehe, mag' das auch schick sein - zweckmäßig ist's nicht, und weil's nicht zweckmäßig ist, ist jeglicher Schick auch ziemlich schnell dahin.
> Es ist wohl, wenn man es in der
> Form zeigt nicht nötig, noch die andere Richtung zu
> zeigen.
Wenn man mal genau wüßte, welche Richtung hier gezeigt werden soll...
Ich tendiere zu "==>".
> Eigentlich hätte ich gern versucht den Beweis noch
> in eigenen Worten zu interpretieren, aber an der Stelle, wo
> s' kleiner gleich m sein soll, möcht ich schon meinen, da
> könnte etwas nicht stimmen und über das "forall" will ich
> auch nicht recht hinwegkommen, da es sehr ungewöhnlich
> erscheint.
Ich glaube, den Anfang (bis "für alle m") verstehe ich noch.
Ich wüde mir das so zusammenreimen.
Gezeigt werden soll "==>".
Sei s das Infimum von M. (Dieses Infimum existiert, weil M eine n.u. beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist.)
Nun wird angenommen (also auf einen Widerspruchsbeweis hingearbeitet), daß es ein [mm] \varepsilon' [/mm] gibt, so daß für alle [mm] m\in [/mm] M gilt:
$ [mm] s
Mit [mm] s_1:=s+\varepsilon' [/mm] hat man dann den Anfang Deiner "Musterlösung".
Wofür das s'' sein soll, ist mir unerklärlich, vielleicht ist es unbeabsichtigt aufs Blatt gerutscht? Passiert mir manchmal, wenn ich unbemerkt auf das Touchdings tatsche.
Machen wir einfach mal weiter...
Weil s nach Voraussetzung die kleinste untere Schranke ist, ist
(Ha! Ich hab' 'ne Idee für ein zu definierendes s''!)
s'':= [mm] s+\bruch{s'-s}{2} [/mm] keine untere Schranke.
Also gibt es ein [mm] m\in [/mm] M mit
[mm] s\le [/mm] m < [mm] s+\bruch{s'-s}{2}=\bruch{s}{2}+\bruch{s'}{2}<\bruch{s'}{2}+\bruch{s'}{2}=s'.
[/mm]
Widerspruch!
Also ist die Annahme, daß es so ein [mm] \varepsilon' [/mm] (und somit s') gibt, falsch, und es gilt das, was in der Aussage für "==>" behauptet wird.
Die Rückrichtung:
Angenommen, die Aussage rechts gilt, und s wäre nicht die größte untere Schranke. Dann gäbe es eine untere Schranke s', welche größer ist als s.
Also gilt dann für alle [mm] m\in [/mm] M: [mm] s
Nach Voraussetzung gibt es für [mm] \varepsilon:=\bruch{s'-s}{2} [/mm] ein [mm] m\in [/mm] M mit [mm] s\le [/mm] m < [mm] s+\bruch{s'-s}{2}< [/mm] s'. Widerspruch, also gilt die Aussage "==>".
Gruß v. Angela
> Daher bitte ich darum, dass jemand bei der Interpretation
> nachhilft.
>
> Gruss, dfx
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Do 25.11.2010 | | Autor: | dfx |
> Hallo,
>
> ich hab# Dein "oben" mal gegen ein "unten" ausgetauscht.
Oh.
> > Z.z. Ist [mm]\emptyset \not= M \subset \IR[/mm] nach unten
> > beschränkt, dann gilt:
> > [mm]s := inf M \gdw \forall \varepsilon > 0 \exists m \in M[/mm]
> > mit [mm]s+\varepsilon > m \ge s[/mm].
> Ich werde ebenfalls nicht schlau daraus.
> Das, was angeschrieben wurde, ist auch keine Musterlösung
> - es ist allenfalls eine Beweisskizze, und absolut
> untauglich dafür, in einer Übung an die Tafel geschrieben
> zu werden.
> > Beweis Angenommen [mm]s'>s[/mm] mit [mm]s' \le m \forall m[/mm]
> > [mm]\wedge s''[/mm] mit [mm]m \le s'': s' \le s''[/mm]. Sei [mm]\varepsilon=\bruch{s'-s}{2}[/mm].
> > Dann ex. [mm]m \in M[/mm] speziell [mm]m \in [s, \bruch{s-s'}{2}][/mm] mit [mm]s + \varepsilon > m \ge s[/mm],
> > aber [mm]m < s'[/mm] ! qed.
Hallo angela,
meine Herangehensweise war etwas anderst. Erstmal glaub ich ja noch daran, dass es sich um einen gültigen Beweis handelt, aber ich werde da nächsten Montag nochmal nachhaken und eine Rückmeldung geben.
Wenn es eben nicht aufgefallen ist, habe ich mal einen Zeilenumbruch im Zitat von dir [von mir] verändert. Dann ließ mich das mit den drei s erstmal nicht los und ich kam darauf, wenn es eine untere Schranke gibt, dann könnte es noch eine in der Menge [mm]M[/mm] geben und eine welches darunter liegt. Also [mm]s'[/mm] liegt offensichtlich zwischen dem definierten [mm]s[/mm] und [mm]M[/mm] durch [mm]s'>s[/mm] mit [mm]s' \le m \forall m[/mm]. Dann noch [mm]s''[/mm] mit [mm]m \le s'': s' \le s''[/mm], ein weiteres [mm]s[/mm], welches sich in der Menge [mm]M[/mm] befinden kann und somit auch Maximum wäre. Ende der zweiten Zeile folgt jetzt die Wahl der 'Epsilon-Umgebung'. Ich verstehe das immernoch als so eine Art 'Abschätzung eines Bereichs'. Verbessert mich, wenn ich da etwas falsches hineininterpretiere. Auf jeden Fall soll es nun ein [mm]m[/mm] geben, im speziellen eines, welches im abgeschlossenen Intervall [mm][s, \bruch{s-s'}{2}][/mm] liegt. Hmm, ich hab grad leider keine Zeit mehr es noch zu einem Abschluss zu bringen.
Eine Frage, sollte man "hab' 'ne" wirklich doppelt apostrophieren?  ich seh das zum ersten Mal.
Gruss, dfx
PS: Hab' deinen Beweis nur flüchtig angeschaut.
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