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| Aufgabe | Seien (A, [mm] \circ) [/mm] endliche Gruppe mit Neutralelement e und x [mm] \in [/mm] A festes Element.
Es soll gezeigt werden:
a) Es gibt ein kleinstes k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x^{k}=e. [/mm] (k Ordnung von x)
b) Ist k Ordnung von x, so gilt: B={x, [mm] x^{2}, [/mm] ... , [mm] x^{k} [/mm] } ist eine Untergruppe von A, die abelsch ist und k Elemente besitzt. |
Hallo miteinander,
ich sitze hier an dieser Aufgabe und mir fällt einfach kein Lösungsweg ein, mit dem diese Aussagen korrekt formal bewiesen werden sollen!!!
zur a) dieses kleinste k ist für [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : k=1, da [mm] x^{1}=x=e.
[/mm]
zur b) finde ich keinen Ansatz oder formalen Beweis, der zeigen soll, dass alle drei Bedingungen gelten.
Hat jemand eine Idee?
Wäre dankbar für jeden noch so kleinen Tipp. 
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mi 14.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> a) Es gibt ein kleinstes k [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]x^{k}=e.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(k Ordnung
> von x)
>
> b) Ist k Ordnung von x, so gilt: B={x, [mm]x^{2},[/mm] ... , [mm]x^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> ist eine Untergruppe von A, die abelsch ist und k Elemente
> besitzt.
> zur a) dieses kleinste k ist für [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] : k=1,
> da [mm]x^{1}=x=e.[/mm]
Unsinn. Dann wäre ja eben [m]x=e[/m] für all Elemente aus A - das stimmt doch sicher nicht! Da A endlich ist, gibt es allerdings [m]k > l[/m] mit [m]x^l=x^k\Rightarrow x^{k-l}=e[/m]. Nun ist [m]\min\{k|x^k=e\}[/m] definiert.
> zur b) finde ich keinen Ansatz oder formalen Beweis, der
> zeigen soll, dass alle drei Bedingungen gelten.
Untergruppe: Zum einen abgeschlossen, also zwei Elemnte multiplizieren liegt drin. Dann Inverse finden.
Abelsch: naja, [m]x^l*x^k=x^{k+l}[/m].
k Elemente: die Elemnte, bis auf [m]e=x^k[/m] sind alle unterschiedlich (warum?)
SEcki
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| Aufgabe | Seien (A, [mm] \circ) [/mm] endliche Gruppe mit Neutralelement e und x [mm] \in [/mm] A festes Element.
Es soll gezeigt werden:
a) Es gibt ein kleinstes k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x^{k}=e. [/mm] (k Ordnung von x)
b) Ist k Ordnung von x, so gilt: B={x, [mm] x^{2}, [/mm] ... , [mm] x^{k} [/mm] } ist eine Untergruppe von A, die abelsch ist und k Elemente besitzt. |
Ok...zunächst einmal vielen lieben Dank für die Hilfe.
Trotzdem fällt es mir jetzt nun schwer, den Beweis formal richtig aufs Blatt zu bringen. Ich wäre dankbar über einen formal korrekten Beweis!
Thx, jacques2303
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Fr 16.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> Trotzdem fällt es mir jetzt nun schwer, den Beweis formal
> richtig aufs Blatt zu bringen. Ich wäre dankbar über einen
> formal korrekten Beweis!
Den wir dir aber ohne deine eigene Mitwirkung nicht geben werden. Probier so viel aufzuschreiben, wie du kannst. Dann kann sich wer ansehen,
SEcki
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Hallo,
habe nun etliche Stunden am Verständnis dieser Aufgabe verbracht.
a) Es soll k [mm] \in [/mm] IN das kleinste Element der endlichen Gruppe (A, °) sein.
Beh: Es gibt ein kleineres Element l<k.
Dann gilt: [mm] x^{k-l}=x^{k}/x^{l}...wie [/mm] das jedoch jetzt zum Widerspruch gebracht werden soll, weiß ich immer noch nicht so recht.
b)Beh: B ist Untergruppe von A, die abelsch ist
Dann gilt: abgeschlossen: zwei Elemente aus B verknüpft müssen in der Untergruppe B liegen: [mm] x^{1} [/mm] und [mm] x^{2} [/mm] verknüpft ergebe [mm] x^{3}, [/mm] d.h liegt auch in der Untergruppe B oder allgemein [mm] x^{k-2} [/mm] mit [mm] x^{k-1} [/mm] verknüpft [mm] x^{2k-3}, [/mm] es liegt somit auch in B
neutrales Element: [mm] e_{B} [/mm] ist neutrales El. von B, [mm] e_{A} [/mm] von der Gruppe A. Es gilt [mm] e_{B}=e_{B}°e_{B}=e_{A}°e_{B}, [/mm] nach Def. folgt [mm] e_{B}=e_{A}.
[/mm]
Deshalb muss auch für jedes x [mm] \in [/mm] B das Inverse bzgl. ° in B gleich dem Inversen bzgl. ° in A sein -> B Untergruppe
kommutativ bzw. abelsch: [mm] x°y=x^{k}°y^{k}=y^{k}°x^{k}=y°x
[/mm]
B besitzt k Elemente: Es muss ein Widerspruchsbeweis gezeigt werden:
Annahme: B besitzt k+1 Elemente
Dann gilt: [mm] x^{k+l}=x^{k}*x^{l}=??? [/mm] ab hier komme ich nicht weiter.
Dieser Beweis erscheint mir aber sehr schwammig. Es fällt mir schwer, die Def. und Sätze der Vorlesung auf eine Aufgabe anzuwenden. Deshalb wäre ich dankbar über einen vollständig korrekten Beweis, damit ich die einzelen Schritte nachvollziehen und damit auch andere Aufgaben lösen kann.
MfG, jacques2303
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> a) Es soll k [mm]\in[/mm] IN das kleinste Element der endlichen
> Gruppe (A, °) sein.
Hallo,
das, was Du dort schreibst, ist eine schlechte Nacherzählung dessen, was Du zeigen sollst:
Es sei x ein festes Element der endlichen der endlichen Gruppe (A, °).
Zu zeigen:
>>>> a) Es gibt ein kleinstes k $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] x^{k}=e. [/mm] $ (k Ordnung von x)
Es geht hier eher um das "es gibt" als um die Kleinheit.
Wenn wir erstmal wissen, daß es überhaupt solch ein Element gibt, daß mit sich selbst potenziert das neutrale ergibt, ist es sofort klar, daß es unter diesen Elementen ein kleinstes gibt.
Du mußt Dir also überlegen, warum ein solches Element existiert - oder auch, was wäre, würde es nicht existieren.
> b)Beh: B ist Untergruppe von A, die abelsch ist
Was Du hier zeigen mußt, hat Dir SEcki ja schon gesagt:
(0. nichtleer)
1. abgeschlossen,
2. zu jedem Element aus B liegt auch das inverse in B
3. kommutativ
> Dann gilt: abgeschlossen: zwei Elemente aus B verknüpft
> müssen in der Untergruppe B liegen:
ja.
> [mm]x^{1}[/mm] und [mm]x^{2}[/mm]
> verknüpft ergebe [mm] x^{3},
[/mm]
Das ist lediglich ein Beispiel.
> [/mm] d.h liegt auch in der Untergruppe B
> oder allgemein
was folgt, ist nicht allgemein, Du betrachtest ja lediglich Elemente deren Potenzen nur um 1 auseinanderliegen.
Du mußt so beginnen: seien a,b [mm] \in [/mm] B.
Dann gibt es ... so, daß a=... und b=....
Es ist ab=... ==> [mm] ab\in [/mm] B.
> [mm]x^{k-2}[/mm] mit [mm]x^{k-1}[/mm] verknüpft [mm]x^{2k-3},[/mm] es
> liegt somit auch in B
>
> Deshalb muss auch für jedes x [mm]\in[/mm] B das Inverse bzgl. ° in
> B gleich dem Inversen bzgl. ° in A sein
Das ist klar, aber die wirkliche Frage ist: liegt dieses Inverse in B?
Sei a [mm] \in [/mm] B.
Dann gibt es ... so, daß a= ...
Es ist ... das Inverse zu a, und weil .... liegt es in B.
> -> B Untergruppe
>
> kommutativ bzw. abelsch: [mm]x°y=x^{k}°y^{k}=y^{k}°x^{k}=y°x[/mm]
So geht das nicht.
Du kannst heir nicht mit irgendwelche x und y rumwurschteln, von denen weder Dir noch anderen klar ist, als welchen Mengen die stammen.
Abgesehen davon vertauschst Du fröhlich ohne jegliche Begründung, also ohne Überzeugungskraft.
Jetzt noch mal richtig.
Seine a,b [mm] \in [/mm] B
Dann gibt es ... mit a=... und b= ....
Es ist ab=...=...=ba.
>
> B besitzt k Elemente:
Daß B nicht mehr als k Elemente hat, ergibt sich bereits aus der Definition der Menge.
Das interessantere ist: hat B denn auch nicht weniger als k Elemente? Es könnten ja welche doppelt vorkommen.
Daß das nicht der Fall ist, ist hier zu zeigen.
> Es muss ein Widerspruchsbeweis
> gezeigt werden:
Genau. Nimm an, daß [mm] x^r=x^s [/mm] mit r<s [mm] \le [/mm] k
> Dieser Beweis erscheint mir aber sehr schwammig.
Er ist noch in weiten Teilen verkehrt.
> Es fällt
> mir schwer, die Def. und Sätze der Vorlesung auf eine
> Aufgabe anzuwenden.
Ja, das muß man üben, und es ist am Anfang nicht einfach.
> Deshalb wäre ich dankbar über einen
> vollständig korrekten Beweis, damit ich die einzelen
> Schritte nachvollziehen und damit auch andere Aufgaben
> lösen kann.
Ich habe nicht vor, Dir Deine Hausübung zu rechnen.
Natürlich helfe ich gerne bei der korrekten Formulierung, aber bisher steht das Gerüst überhaupt noch nicht.
Versuche es anhand meiner Hinweise erneut.
Besonderes Augenmerk lege auf die erste Teilaufgabe. Sie ist der Schlüssel zum Verständnis der Menge B.
Gruß v. Angela
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