Beweis Grenzwert Maßraum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Es seien [mm] (\Omega, [/mm] F, [mm] \mu) [/mm] ein Maßraum und f : [mm] \Omega \to [0,\infty] [/mm] eine [mm] \mu-integrierbare [/mm] Funktion mit c:= [mm] \integral_{\Omega}{f d\mu} [/mm] > 0. Man zeige
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\Omega} [/mm] n ln (1+ [mm] (\bruch{f}{n})^{\alpha }) d\mu [/mm] = [mm] =\begin{cases} \infty, & \mbox{für } \alpha \in \mbox{ (0,1)} \\ c, & \mbox{für } \alpha \mbox{ =1} \\ 0, & \mbox{für } \alpha \in (1,\infty) \end{cases}.
[/mm]
Hinweis: Man benutze das Lemma von Fatou für den Fall [mm] \alpha \in [/mm] (0,1) und den Satz von der majorisierten Konvergenz für die Fälle [mm] \alpha [/mm] = 1 und [mm] \alpha \in (1,\infty). [/mm] Außerdem ist es hilfreich, wenn man zeigt, dass [mm] ln(1+x^\alpha) \le (\alpha [/mm] x) für x [mm] \ge [/mm] 0. |
Hallo zusammen,
vorab: Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe mich in das Lemm von Fatou und den Satz von der majorsierten Konvergenz eingelesen. Leider fehlt mir ein Ansatz, wie ich mit den beiden diesen Grenzwert beweisen kann. Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:50 Sa 23.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](\Omega,[/mm] F, [mm]\mu)[/mm] ein Maßraum und f : [mm]\Omega \to [0,\infty][/mm]
> eine [mm]\mu-integrierbare[/mm] Funktion mit c:=
> [mm]\integral_{\Omega}{f d\mu}[/mm] > 0. Man zeige
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\Omega}[/mm] n ln (1+
> [mm](\bruch{f}{n})^{\alpha }) d\mu[/mm] = [mm]=\begin{cases} \infty, & \mbox{für } \alpha \in \mbox{ (0,1)} \\ c, & \mbox{für } \alpha \mbox{ =1} \\ 0, & \mbox{für } \alpha \in (1,\infty) \end{cases}.[/mm]
>
> Hinweis: Man benutze das Lemma von Fatou für den Fall
> [mm]\alpha \in[/mm] (0,1) und den Satz von der majorisierten
> Konvergenz für die Fälle [mm]\alpha[/mm] = 1 und [mm]\alpha \in (1,\infty).[/mm]
> Außerdem ist es hilfreich, wenn man zeigt, dass
> [mm]ln(1+x^\alpha) \le (\alpha[/mm] x) für x [mm]\ge[/mm] 0.
> Hallo zusammen,
>
> vorab: Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Ich habe mich in das Lemm von Fatou und den Satz von der
> majorsierten Konvergenz eingelesen. Leider fehlt mir ein
> Ansatz, wie ich mit den beiden diesen Grenzwert beweisen
> kann. Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Setze [mm] $f_n=n* \ln (1+(\bruch{f}{n})^{\alpha })$
[/mm]
Untersuche [mm] (f_n) [/mm] auf punkzweise Konvergenz
FRED
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Arthaire |
Im Fall [mm] \alpha [/mm] = 1 heißt das doch dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(1+\bruch{f}{n})^n=ln1=0. [/mm] Und das Inetgral von 0 ist dann die Konstante c? Verstehe ich das richtig?
Aber inwiefern ändert sich das dann für [mm] \alpha [/mm] <1 bzw. [mm] \alpha [/mm] >1. n läuft doch dann immer noch gegen [mm] \infty.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 23.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Im Fall [mm]\alpha[/mm] = 1 heißt das doch dann:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ln(1+\bruch{f}{n})^n=ln1=0.[/mm]
Das ist falsch !!!!! Denk mal an $e$
FRED
>Und
> das Inetgral von 0 ist dann die Konstante c? Verstehe ich
> das richtig?
>
> Aber inwiefern ändert sich das dann für [mm]\alpha[/mm] <1 bzw.
> [mm]\alpha[/mm] >1. n läuft doch dann immer noch gegen [mm]\infty.[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 24.11.2013 | | Autor: | Arthaire |
Ich stehe gerade auf dem Schlauch bzw. kann mir eines nicht herleiten. Der Grenzwert von [mm] (1+f/n)^n [/mm] ist e. Aber hier habe ich noch den ln davor. Darf ich den vor den Grenzwert ziehen? Dazu kann ich nirgends einen Beleg finden.
Wenn ich denn ln vorziehen darf, dann ergibt der Grenzwert e und dann habe ich ln von e und das ist logischerweise 1. Aber dann stellt sich immer noch die Frage, warum sich das bei einem anderen [mm] \alpha [/mm] ändert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
Als stetige Funktion darfst du den Logarithmus mit dem Limes vertauschen.
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
Übrigens [mm] $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{f}{n})^n=e^f$
[/mm]
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Okay. Also ist der Grenzwert [mm] e^f [/mm] und der ln davon dann f. Und somit ist die punktweise Konvergenz nachgewiesen, da lim [mm] f_n [/mm] = f, oder?
Wie verhält es sich dann bei anderem [mm] \alpha? [/mm] Ich habe dann ln [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+(\bruch{f}{n})^\alpha)^n. [/mm] Wird daraus dann ln [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{f}{n}^\alpha)^n [/mm] weil ich [mm] n^\alpha [/mm] mit n gleichsetzen kann, da n gegen unendlich strebt? Dann käme für den Grenzwert und ln ja [mm] f^\alpha [/mm] raus, was keine punktweise Konvergenz bedeuten würde.
Sorry, wenn ich mich sehr blöd anstelle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 26.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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