Beweis Folge unbeschränkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Seien [mm] (a_{n})_{n \in \IN}, (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] Folgen reeller Zahlen, so dass [mm] (\bruch{1}{a_{n}}) [/mm] eine Nullfolge ist und [mm] b_{n} [/mm] gegen b>0 konvergiert. Beweisen Sie, dass [mm] (a_{n}b_{n}) [/mm] unbeschränkt ist. |
Guten Morgen,
habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten.
Es gilt:
[mm] (\bruch{1}{a_{n}}) [/mm] ist Nullfolge [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] ist divergent.
[mm] b_{n} [/mm] konvergiert gegen b > 0 [mm] \Rightarrow \exists n_{0} \in \IN \forall [/mm] n > [mm] n_{0}: [/mm] | [mm] b_{n} [/mm] -b | < [mm] \epsilon
[/mm]
Nun weiß ich leider nicht weiter. [mm] a_{n} [/mm] ist zwar divergent, aber nicht zwangsläufig unbeschänkt. Hm hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Fr 25.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
geht es um [mm] a_n*b_n? [/mm] oder um das Paar [mm] (a_n,b_n).
[/mm]
was heisst denn für dich, [mm] a_n [/mm] ist divergent, aber beschränkt?
Du musst doch nur zu jedem [mm] r\in\IR [/mm] ein N angeben, so dann [mm] a_n*b_n>r [/mm] ist für alle n>N
dazu benutz die Konvergenz von [mm] 1/a_n [/mm] gegen 0 und die von [mm] b_n [/mm] gegen b endlich. schreib jeweils auf, was diese Konvergenz bedeutet, konstruier daraus dein N
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo
> geht es um [mm]a_n*b_n?[/mm] oder um das Paar [mm](a_n,b_n).[/mm]
Es geht um [mm] a_n*b_n
[/mm]
> was heisst denn für dich, [mm]a_n[/mm] ist divergent, aber
> beschränkt?
Na ja z.B [mm] (-1)^{n} [/mm] ist divergent und beschränkt.
> Du musst doch nur zu jedem [mm]r\in\IR[/mm] ein N angeben, so dann
> [mm]a_n*b_n>r[/mm] ist für alle n>N
> dazu benutz die Konvergenz von [mm]1/a_n[/mm] gegen 0 und die von
> [mm]b_n[/mm] gegen b endlich. schreib jeweils auf, was diese
> Konvergenz bedeutet, konstruier daraus dein N
Also: [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] ist Nullfolge d.h [mm] \exists [/mm] N' [mm] \in \IN \forall [/mm] n > N': | [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergiert gegen b d.h [mm] \exists [/mm] N'' [mm] \in \IN \forall [/mm] n > N'': [mm] |b_n [/mm] -b | < [mm] \epsilon.
[/mm]
Und wie konstruier ich daraus nun mein gesuchts N?
LG loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Habe jetzt sowas:
[mm] a_n*b_n [/mm] = [mm] \bruch{b_n}{\bruch{1}{a_n}}. [/mm] Dann konvergiert [mm] a_n*b_n [/mm] gegen unendlich nach den Grenzwertsätzen. Ist das der richtige Weg?
LG Loriot95
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Hallo Loriot!
Nein, das ist nicht der richtige Weg, da die Grenzwertsätze ausschließlich gelten, wenn die Einzelgrenzwerte für sich auch existieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Fr 25.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] (-1)^n [/mm] ist zwar divergent, aber [mm] 1/(-1)^n [/mm] ist keine Nullfolge.
N': [mm] |1/a_n|r/b
[/mm]
N'': [mm] |b_n-b|<1/br [/mm] (falls [mm] b\ne0) |b_n|<...
[/mm]
dann [mm] a_n*b_n [/mm] und ein N aus N' und N'' herstellen .
die [mm] \epsilons [/mm] für N' und N'' kann man evt. noch günstiger wählen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke für die Hilfe. Ich kriegs leider dennoch nicht hin. Also sei [mm] |a_n| [/mm] > [mm] \bruch{r}{b} [/mm] und [mm] |b_n| [/mm] < [mm] \bruch{1}{br} [/mm] + b. Dann gilt:
[mm] |a_n|*\bruch{1}{br} [/mm] + b [mm] >|a_n*b_n| [/mm] > [mm] |b_n|*\bruch{r}{b}.
[/mm]
Ich kann umformen wie ich will... Ich krieg [mm] |a_n*b_n| [/mm] > r nicht raus.... Komm mir gerade entsetzlich dumm vor. :(
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 25.03.2011 | | Autor: | gfm |
> Danke für die Hilfe. Ich kriegs leider dennoch nicht hin.
> Also sei [mm]|a_n|[/mm] > [mm]\bruch{r}{b}[/mm] und [mm]|b_n|[/mm] < [mm]\bruch{1}{br}[/mm] +
> b. Dann gilt:
>
> [mm]|a_n|*\bruch{1}{br}[/mm] + b [mm]>|a_n*b_n|[/mm] > [mm]|b_n|*\bruch{r}{b}.[/mm]
>
> Ich kann umformen wie ich will... Ich krieg [mm]|a_n*b_n|[/mm] > r
> nicht raus.... Komm mir gerade entsetzlich dumm vor. :(
>
> LG Loriot95
In Worten:
Da [mm] b_n [/mm] einen nicht verschwindenden Grenzwert besitzt, liegen schließlich alle Folgenglieder beliebig nahe und von null verschieden bei diesem Grenzwert. Da [mm] 1/a_n [/mm] eine Nullfolge ist, müssen die [mm] a_n [/mm] schließlich über alle Schranken wachsen. Und daran ändert auch nicht die Multiplikation mit den [mm] b_n [/mm] nichts. Denn, wenn man n hinreichend groß macht, sind die [mm] b_n [/mm] vom Betrag her größer als z.B. b/2. Wenn man n hinreichend groß macht, sind die [mm] a_n [/mm] vom Betrag her beliebig groß, da sonst [mm] 1/a_n [/mm] keine Nullfolge sein würde. Also lassen sich schließlich alle [mm] |a_n*b_n| [/mm] nach unten mit z.B. [mm] |a_n|*b/2 [/mm] abschätzen, was immer noch unbeschränkt ist.
LG
gfm
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Hallo Loriot,
hier ist eine kleine Variante zu leduarts Tipps. Vielleicht fällt es dir so leichter:
a) Da [mm] b_n\to [/mm] b mit b>0 gibt es 0<c<b mit [mm] |b_n|>c [/mm] für [mm] n\geq N_1 [/mm] (warum?)
Sei nun r>0.
b) Da [mm] \frac{1}{a_n}\to0 [/mm] gilt [mm] |\frac{1}{a_n}|<\frac{c}{r}, [/mm] also [mm] |a_n|>\frac{r}{c} [/mm] für [mm] n\geq N_2
[/mm]
c) Aus a) und b) folgt [mm] |a_n*b_n|=|a_n||b_n|>\frac{r}{c}*c=r [/mm] für [mm] n\geq\max\{N_1,N_2\}
[/mm]
d) Aus der Beliebigkeit von r folgt Unbeschränktheit.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo Loriot,
>
> hier ist eine kleine Variante zu leduarts Tipps. Vielleicht
> fällt es dir so leichter:
>
> a) Da [mm]b_n\to[/mm] b mit b>0 gibt es 0<c<b mit [mm]|b_n|>c[/mm] für [mm]n\geq N_1[/mm]
> (warum?)
Na ja wenn sich die Folge von "oben" an b annährt ist das sowieso immer der Fall. Und wenn sich die Folge von "unten" an b annährt müssen alle Folgengenglieder ab einen bestimmten [mm] N_1 [/mm] eben größer als c sein.
> Sei nun r>0.
> b) Da [mm]\frac{1}{a_n}\to0[/mm] gilt [mm]|\frac{1}{a_n}|<\frac{c}{r},[/mm]
> also [mm]|a_n|>\frac{r}{c}[/mm] für [mm]n\geq N_2[/mm]
>
> c) Aus a) und b) folgt [mm]|a_n*b_n|=|a_n||b_n|>\frac{r}{c}*c=r[/mm]
> für [mm]n\geq\max\{N_1,N_2\}[/mm]
>
> d) Aus der Beliebigkeit von r folgt Unbeschränktheit.
>
>
Vielen Dank an euch alle. Ich hatte da wohl ein ziemliches Brett vorm Kopf.
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Sa 26.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Moin Loriot,
> > Hallo Loriot,
> >
> > hier ist eine kleine Variante zu leduarts Tipps. Vielleicht
> > fällt es dir so leichter:
> >
> > a) Da [mm]b_n\to[/mm] b mit b>0 gibt es 0<c<b mit [mm]|b_n|>c[/mm] für [mm]n\geq N_1[/mm]
> > (warum?)
> Na ja wenn sich die Folge von "oben" an b annährt ist das
> sowieso immer der Fall. Und wenn sich die Folge von "unten"
> an b annährt müssen alle Folgengenglieder ab einen
> bestimmten [mm]N_1[/mm] eben größer als c sein.
'Das ist halt so' kann man auch begründen. Wir nehmen mal wie von gfm vorgeschlagen c:=b/2. Wegen [mm] b_n\to [/mm] b, b>0 liegen alle Folgenglieder mit [mm] n\geq N_1 [/mm] in der b/2 Umgebung von b. Anders gesagt:
[mm] \qquad $|b_n-b|<\frac{b}{2}$ [/mm] für [mm] n\geq N_1
[/mm]
Daraus folgt sofort [mm] b_n>b-b/2=b/2 [/mm] für [mm] n\geq N_1
[/mm]
> > Sei nun r>0.
> > b) Da [mm]\frac{1}{a_n}\to0[/mm] gilt
> [mm]|\frac{1}{a_n}|<\frac{c}{r},[/mm]
> > also [mm]|a_n|>\frac{r}{c}[/mm] für [mm]n\geq N_2[/mm]
> >
> > c) Aus a) und b) folgt [mm]|a_n*b_n|=|a_n||b_n|>\frac{r}{c}*c=r[/mm]
> > für [mm]n\geq\max\{N_1,N_2\}[/mm]
> >
> > d) Aus der Beliebigkeit von r folgt Unbeschränktheit.
> >
> >
> Vielen Dank an euch alle. Ich hatte da wohl ein ziemliches
> Brett vorm Kopf.
Jo, kein Ding.
>
> LG Loriot95
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Sa 26.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Annahme: [mm] (a_n*b_n) [/mm] ist beschränkt. Dann gibt es ein c>0 mit: [mm] |a_n*b_n| \le [/mm] c für alle n.
Weiter gibt es ein N mit: $b/2 [mm] \le |b_n|$ [/mm] für n>N
Es folgt: [mm] $\bruch{b}{2}|a_n| \le |a_n*b_n| \le [/mm] (2c)/b$ für n>N.
Somit: [mm] \bruch{1}{|a_n|} \ge \bruch{b}{2c} [/mm] für n>N.
Widerspruch.
FRED
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