Beweis Folge / Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Do 25.10.2007 | | Autor: | eXile |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Folge [mm] a_1, \ldots, a_n [/mm] > 0. Für diese Folge gilt:
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) \ge n^2 [/mm] |
Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben sei die obige Aufgabe, welche ich mittels vollständiger Induktion beweisen möchte.
Induktionsanfang:
Für n=1 gilt [mm] a_1 \cdot \bruch{1}{a_1} \ge 1^2, [/mm] was wahr ist.
Induktionsschritt:
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) \ge n^2 [/mm] seit wahr als Induktionsvorraussetzung.
[mm] \left(\summe_{i=1}^{n+1}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{a_k}\right) \ge (n+1)^2 [/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{i=1}^{n}a_k+a_{n+1}\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}+\bruch{1}{a_{n+1}}\right) \ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right) \cdot \bruch{1}{a_{n+1}} [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) \cdot a_{n+1} [/mm] + 1 [mm] \ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{a_{n+1}}\right) [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{a_{n+1}}{a_k}\right) [/mm] + 1 [mm] \ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{a_k}{a_{n+1}} + \bruch{a_{n+1}}{a_k}\right) [/mm] + 1 [mm] \ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{{a_k}^2+{a_{n+1}}^2}{a_k \cdot a_{n+1}}\right) [/mm] + 1 [mm] \ge (n+1)^2
[/mm]
[mm] \gdw \left(\summe_{i=1}^{n}a_k\right)\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_k}\right) [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{{a_k}^2+{a_{n+1}}^2}{a_k \cdot a_{n+1}}\right) \ge n^2+2n
[/mm]
Und hier komme ich nicht weiter. Ziel der ganzen Geschichte war es, die Aussage beim Induktionsschritt in eine ähnliche Aussage wie bei der Induktionsvorraussetzung umzuformen.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen und den Beweis zu Ende führen, oder - falls das alles nicht zielführend war - mir einen anderen Beweis zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
das ist doch schon sehr gut, was du gerechnet hast. Dir fehlt nur noch ein Schritt.
Schau dir diese Summe an:
[mm]\left(\summe_{i=1}^{n}\bruch{{a_k}^2+{a_{n+1}}^2}{a_k \cdot a_{n+1}}\right) [/mm]
Jeder Summand ist [mm]\ge2[/mm], denn
[mm]0\le (a_k - a_{n+1}})^2 = {a_k}^2+{a_{n+1}}^2 - 2a_k \cdot a_{n+1} \implies {a_k}^2+{a_{n+1}}^2 \ge 2a_k \cdot a_{n+1}[/mm]
Also ist die Summe [mm]\ge 2n[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Do 25.10.2007 | | Autor: | eXile |
Vielen Dank, manchmal liegt die Lösung so nah, aber man kommt einfach nicht auf den richtigen Weg. Danke!
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