Beweis Fibonacci-Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die Fibonacci-Zahlen gilt:
[mm] F_{n+1}=F_{n-1}+F_{n}
[/mm]
Wobei [mm] F_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n-\beta^n)
[/mm]
mit [mm] \alpha=\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] \beta=\bruch{1-\wurzel{5}}{2} [/mm] |
hi,
also das ist meine aufgabe. ich habe schon reichlich umformungen ausprobiert und auch im netz recherchert, ich finde allerdings nur einen beweis für [mm] F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} [/mm] wo auch die definition des goldenen schnitts genutzt wird, was wir in der vorlesung nicht getan haben...
Also wie gesagt, ich bekomme die ausdrücke nicht entsprechend umgeformt, kann mir jemand einen kleinen tipp geben um in die richtige richtung zu kommen ?
Lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die
> Fibonacci-Zahlen gilt:
>
> [mm]F_{n+1}=F_{n-1}+F_{n}[/mm]
>
> Wobei [mm]F_{n}=\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n-\beta^n)[/mm]
>
> mit [mm]\alpha=\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm] und
> [mm]\beta=\bruch{1-\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> also das ist meine aufgabe. ich habe schon reichlich
> umformungen ausprobiert und auch im netz recherchert, ich
> finde allerdings nur einen beweis für
> [mm]F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}[/mm] wo auch die definition des goldenen
> schnitts genutzt wird, was wir in der vorlesung nicht getan
> haben...
> Also wie gesagt, ich bekomme die ausdrücke nicht
> entsprechend umgeformt, kann mir jemand einen kleinen tipp
> geben um in die richtige richtung zu kommen ?
Benutze [mm] $\alpha^2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + 1$ und [mm] $\beta^2 [/mm] = [mm] \beta [/mm] + 1$.
Ansonsten schreib doch mal auf, wieweit du gekommen bist.
LG Felix
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hi,
ja dass [mm] \alpha^2=\alpha+1 [/mm] und selbiges für beta weiß ich, aber das war ja im prinzip nicht gegeben, woher sollte ich dann wissen, dass man dies verwenden kann, woraus ist dies zu schließen ?
also ich habe folgendes bisher gemacht:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] ausklammern ergibt:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n-\beta^n+\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}
[/mm]
Jetzt neu ordnen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n+\alpha^{n-1}+(-\beta^{n})+(-\beta^{n-1})
[/mm]
[mm] \alpha^n [/mm] und [mm] \beta^{n} [/mm] ausklammern:
[mm] \alpha^n*(1+\alpha)+(-\beta^{n})*(1+\beta^{-1})
[/mm]
So und ich glaube hier ist schon was falsch gelaufen, weil ich selbst deine identitäten hier nicht anwenden könnte... Weiterhin bleibt bei mir schon oben (in dieser Frage) gestellte Frage.
lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ja dass [mm]\alpha^2=\alpha+1[/mm] und selbiges für beta weiß ich,
> aber das war ja im prinzip nicht gegeben, woher sollte ich
> dann wissen, dass man dies verwenden kann, woraus ist dies
> zu schließen ?
>
> also ich habe folgendes bisher gemacht:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] ausklammern ergibt:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n-\beta^n+\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}[/mm]
>
> Jetzt neu ordnen:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n+\alpha^{n-1}+(-\beta^{n})+(-\beta^{n-1})[/mm]
Soweit ok.
> [mm]\alpha^n[/mm] und [mm]\beta^{n}[/mm] ausklammern:
>
> [mm]\alpha^n*(1+\alpha)+(-\beta^{n})*(1+\beta^{-1})[/mm]
Woher hast du das $1 + [mm] \beta^{-1}$? [/mm] Da kommt doch $1 + [mm] \beta$ [/mm] hin!
> So und ich glaube hier ist schon was falsch gelaufen, weil
> ich selbst deine identitäten hier nicht anwenden
> könnte... Weiterhin bleibt bei mir schon oben (in dieser
> Frage) gestellte Frage.
Wieso solltest du $1 + [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha^2$ [/mm] und $1 + [mm] \beta [/mm] = [mm] \beta^2$ [/mm] nicht anwenden koennen?! Ein $1 + [mm] \alpha$ [/mm] steht doch da!
LG Felix
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Hi und danke für deine mühe,
> Hallo!
>
> > ja dass [mm]\alpha^2=\alpha+1[/mm] und selbiges für beta weiß ich,
> > aber das war ja im prinzip nicht gegeben, woher sollte ich
> > dann wissen, dass man dies verwenden kann, woraus ist dies
> > zu schließen ?
> >
> > also ich habe folgendes bisher gemacht:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] ausklammern ergibt:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n-\beta^n+\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}[/mm]
> >
> > Jetzt neu ordnen:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n+\alpha^{n-1}+(-\beta^{n})+(-\beta^{n-1})[/mm]
>
> Soweit ok.
>
> > [mm]\alpha^n[/mm] und [mm]\beta^{n}[/mm] ausklammern:
> >
> > [mm]\alpha^n*(1+\alpha)+(-\beta^{n})*(1+\beta^{-1})[/mm]
>
> Woher hast du das [mm]1 + \beta^{-1}[/mm]? Da kommt doch [mm]1 + \beta[/mm]
> hin!
aber wenn ich [mm] -\beta^n [/mm] ausklammere bleibt doch von [mm] \beta^{n-1} \beta^{-1} [/mm] über ?!
>
> > So und ich glaube hier ist schon was falsch gelaufen, weil
> > ich selbst deine identitäten hier nicht anwenden
> > könnte... Weiterhin bleibt bei mir schon oben (in dieser
> > Frage) gestellte Frage.
>
> Wieso solltest du [mm]1 + \alpha = \alpha^2[/mm] und [mm]1 + \beta = \beta^2[/mm]
> nicht anwenden koennen?! Ein [mm]1 + \alpha[/mm] steht doch da!
Ja, einmal, aber nicht zweimal... eben nicht fuer [mm] \beta
[/mm]
> LG Felix
>
lg,
exeqter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi und danke für deine mühe,
>
> > Hallo!
> >
> > > ja dass [mm]\alpha^2=\alpha+1[/mm] und selbiges für beta weiß ich,
> > > aber das war ja im prinzip nicht gegeben, woher sollte ich
> > > dann wissen, dass man dies verwenden kann, woraus ist dies
> > > zu schließen ?
> > >
> > > also ich habe folgendes bisher gemacht:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] ausklammern ergibt:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n-\beta^n+\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}[/mm]
> > >
> > > Jetzt neu ordnen:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}*(\alpha^n+\alpha^{n-1}+(-\beta^{n})+(-\beta^{n-1})[/mm]
> >
> > Soweit ok.
> >
> > > [mm]\alpha^n[/mm] und [mm]\beta^{n}[/mm] ausklammern:
> > >
> > > [mm]\alpha^n*(1+\alpha)+(-\beta^{n})*(1+\beta^{-1})[/mm]
Wieso steht hier links eigentlich [mm] $\alpha^n [/mm] ( 1 + [mm] \alpha [/mm] )$ und nicht [mm] $\alpha^n [/mm] (1 + [mm] \alpha^{-1})$?
[/mm]
Klammer doch mal [mm] $\alpha^{n-1}$ [/mm] und [mm] $\beta^{n-1}$ [/mm] aus.
LG Felix
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hallo nochmal,
gut, wenn ich [mm] \alpha^{n-1} [/mm] usw ausklammere komme ich dahin die identitäten nutzen zu können. aber woher weiß ich denn, dass diese gelten?
lg,
exeqter
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> gut, wenn ich [mm]\alpha^{n-1}[/mm] usw ausklammere komme ich dahin
> die identitäten nutzen zu können. aber woher weiß ich
> denn, dass diese gelten?
Hallo,
weil Du [mm] \alpha^2 [/mm] ausgerechnet hast und das festgestellt . [mm] \beta^2 [/mm] ebenfalls
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo exeqter!
Auf diese Identitäten kommt man auch (eher), wenn man weiß, dass [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] die Lösung der quadratischen Gleichung [mm] $x^2-x-1 [/mm] \ = \ 0$ ist.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 21.10.2009 | | Autor: | MontBlanc |
hi,
naja wir mussten das [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nicht ausrechnen deswegen weiß ich von den identitäten nichts.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Fr 23.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> naja wir mussten das [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] nicht ausrechnen
> deswegen weiß ich von den identitäten nichts.
Nun, wenn du versuchst die Aufgabe zu loesen, siehst du doch sofort dass du die Identitaeten [mm] $\apha^2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + 1$ (oder [mm] $\alpha [/mm] = 1 + [mm] \alpha^{-1}$) [/mm] und [mm] $\beta^2 [/mm] = [mm] \beta [/mm] + 1$ (oder [mm] $\beta [/mm] = 1 + [mm] \beta^{-1}$) [/mm] brauchst.
LG Felix
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