Beweis F.-Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise:
f(k+1) * f(k+3) - f²(k+2) = [mm] (-1)^k
[/mm]
mit kN und f(1)=f(2)=1, f(k+1)=f(k)+f(k-1) |
--> f(k)=f(k-1)+f(k-2), f(k+2)=f(k)+f(k+1), f(k+3)=f(k+1)+f(k+2)
IA: k=1:
(1) * f(1+2) - f²(1+1) = (-1)^(1-1)
1*2-1²=1 ok
IV: Die Beh. gelte für ein bel., aber festes nN.
IB: k-->k+1
Dann gilt auch:
f(k+1) * f(k+1+2) - f²(k+1+1) = (-1)^(k-1+1)
f(k+1) * f(k+3) - f²(k+2) = [mm] (-1)^k
[/mm]
Da komm ich dann nach Aufl. auf keinen grünen Zweig, ich muss doch irgendwie dann auf die IV zurückkommen:
[f(k)+f(k-1)] * [f(k+1)+f(k+2)] - [mm] [f(k)+f(k+1)]^2 [/mm] = [mm] (-1)^n
[/mm]
Wer kann helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 20.01.2008 | | Autor: | abakus |
Wie ist denn "f" definiert?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 So 20.01.2008 | | Autor: | Morgenroth |
Fibonacchi!
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> Beweise:
> f(k+1) * f(k+3) - f²(k+2) = [mm](-1)^k[/mm]
> mit kN und f(1)=f(2)=1, f(k+1)=f(k)+f(k-1)
> --> f(k)=f(k-1)+f(k-2), f(k+2)=f(k)+f(k+1),
> f(k+3)=f(k+1)+f(k+2)
>
> IA: k=1:
> (1) * f(1+2) - f²(1+1) = (-1)^(1-1)
> 1*2-1²=1 ok
>
> IV: Die Beh. gelte für ein bel., aber festes nN.
> IB: k-->k+1
> Dann gilt auch:
> f(k+1) * f(k+1+2) - f²(k+1+1) = (-1)^(k-1+1)
> f(k+1) * f(k+3) - f²(k+2) = [mm](-1)^k[/mm]
> Da komm ich dann nach Aufl. auf keinen grünen Zweig, ich
> muss doch irgendwie dann auf die IV zurückkommen:
>
> [f(k)+f(k-1)] * [f(k+1)+f(k+2)] - [mm][f(k)+f(k+1)]^2[/mm] =
> [mm](-1)^n[/mm]
>
> Wer kann helfen?
Hallo,
bitte präsentiere Deine Aufgaben so, daß man dem die Aufgabenstellung und das Problem entnehmen kann.
Wenn ich meine ganzes Kombinationsvermögen bündele, stelle ich fest:
Gegeben sind in rekursiver Darstellung die Fibonacci-Zahlen f(1)=f(2)=1 und f(k+1)=f(k)+f(k-1) für alle [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] k\ge [/mm] 2.
Zu zeigen ist:
Für alle [mm] k\in \IN [/mm] gilt f(k) * f(k+2) - f²(k+1) = [mm] (-1)^{k-1} [/mm]
Richtig kombiniert???
Zeigen möchtest Du das mit vollständiger Induktion.
Gelungen ist Dir bisher der Induktionsanfang.
> IA: k=1:
> (1) * f(1+2) - f²(1+1) = (-1)^(1-1)
> 1*2-1²=1 ok
>
Die Induktionsvoraussetzung:
Es gelte f(n) * f(n+2) - f²(n+1) = [mm] (-1)^{n-1} [/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Nun kommt der Induktionsschluß:
Zu zeigen ist hier, daß unter obiger Voraussetzung die Behauptung auch für n+1 gilt, daß also
f(n+1) * f(n+3) - f²(n+2) = [mm] (-1)^k [/mm] richtig ist.
Im Induktionsschluß hast Du nun Probleme - welche Du leider nicht schilderst.
"Nach Aufl." soll wohl "nach dem Auflösen" bedeuten.
Ich meine, daß Du mit dem Auflösen zu schnell warst.
Ersetze zunächst nur f(n+3) durch die Rekursion, und schau, wie weit Du kommst.
Gruß v. Angela
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Hi!
Danke!
f(k+1) * f(k+3) - f² (k+2) = [mm] (-1)^k
[/mm]
f(k+1) * [f(k+1) + f(k+2)] - [f(k) + f(k+1)] = [mm] (-1)^n
[/mm]
f²(k+1) + f(k+1) * f(k+2) - f(k) * f(k+2) - f(k+1) * f(k+2) = [mm] (-1)^k
[/mm]
Kürzen:
f²(k+1) - f(k) * f(k+2) = [mm] (-1)^k
[/mm]
-f(k) * f(k+2) + f² (k+1) = [mm] (-1)^k
[/mm]
Der vordere Teil ähnelt nun schon fast der IV, allerdings muss ich das Ganze mit (-1) malnehmen. Dann komme ich rechts aber doch nicht auf (-1)^(k-1)?
Allerdings weiß ich durch die Potenzgesetze:
(-1)^(k-1) * [mm] (-1)^1 [/mm] = [mm] (-1)^k
[/mm]
Hab ich da irgendwas vertauscht am Ende?
Außerdem:
Woher warst du dir gleich so sicher, dass ich nur f(k+3) ersetzen muss und nicht alles? Einfach nur über geschicktes Hinsehen?
Gruß,
M. 
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Hallo Morgenroth!
Du hast noch beim Einsetzen ein [mm] $[...]^{\red{2}}$ [/mm] unterschlagen:
In der 2. Zeile muss es heißen:
$$f(k+1) * [f(k+1) + f(k+2)] - [f(k) + [mm] f(k+1)]^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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In der 2. Zeile meinte ich das:
(k+1) * [f(k+1) + f(k+2)] - [f(k) + f(k+1)] * f(k+2)= ...
Danach ist es aber wieder richtig, trotzdem fehlt mir immer noch der letzte Schritt.
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Hallo Morgenroth!
Es gilt:
[mm] $$f^2(k+1)-f(k)*f(k+2) [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\left[\underbrace{\red{f(k)*f(k+2)-f^2(k+1)}}_{ \text{gemäß Induktionsvoraussetzung} }\right] [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\red{(-1)^k} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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