Beweis Ergodensatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Do 30.06.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo. Ich bereite mich im Moment auf meinen Vortrag zum Ergodensatz vor. Dabei nutze ich den Beweis aus Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie für den Birkhoff'schen Ergodensatz. Formulierung [mm] ($\tau [/mm] : [mm] \Omega \to \Omega$ [/mm] messbar und [mm] $(\Omega,\mathcal [/mm] A, [mm] \mathbb P,\tau)$ [/mm] ergodisch):
Sei $f = [mm] X_0 \in \mL^1(\mathbb [/mm] P)$. Dann gilt:
[mm] $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} X_k [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\circ \tau^k \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb E\left( X_0 \mid \mathcal I \right) \quad \mathbb P\text{-f.s.}$
[/mm]
Dabei ist folgendes Problem. Es geht wie folgt.
Zu erst wird gezeigt, dass
[mm] $\frac{1}{n}S_n \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} [/mm] 0 [mm] \quad\text{ f.s.}$
[/mm]
Soweit klar. Nun setzt er:
[mm] \begin{array}{ll}
X_n^\epsilon := (X_n - \epsilon)\ind_F, & S_n^\epsilon := X_0^\epsilon + \ds + X_{n-1}^\epsilon\\
M_n^\epsilon := \max\{0,S_1^\epsilon,\ds,S_n^\epsilon\}, & F_n := \{M_n^\epsilon > 0\}.
\end{array}
[/mm]
und $F := [mm] \{\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}S_n > \epsilon\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $F_1 \subset F_2 \subset \dots$, [/mm] klar.
Den nun anschließenden Schritt verstehe ich nicht:
[mm] $\bigcup_{n=1}^\infty F_n [/mm] = [mm] \left\{\sup_{k\in \bN} \frac{1}{k} S_k^\epsilon > 0\right\} [/mm] = [mm] \left\{\sup_{k\in \bN} \frac{1}{k} S_k > \epsilon\right\} \cap [/mm] F = F$ |
Wieso gilt die erste Gleichheit? Wieso die zweite? Wieso die dritte?
Vorallem "woher kommen" die [mm] $\frac [/mm] 1k$?
Leider konnte mir mein Tutor und ein Dozent auch nicht weiterhelfen.
MfG!
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Hallo Bappi!
> Hallo. Ich bereite mich im Moment auf meinen Vortrag zum
> Ergodensatz vor. Dabei nutze ich den Beweis aus Klenke
> Wahrscheinlichkeitstheorie für den Birkhoff'schen
> Ergodensatz. Formulierung ([mm]\tau : \Omega \to \Omega[/mm] messbar
> und [mm](\Omega,\mathcal A, \mathbb P,\tau)[/mm] ergodisch):
>
> Sei [mm]f = X_0 \in \mL^1(\mathbb P)[/mm]. Dann gilt:
> [mm]\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} X_k = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\circ \tau^k \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb E\left( X_0 \mid \mathcal I \right) \quad \mathbb P\text{-f.s.}[/mm]
>
> Dabei ist folgendes Problem. Es geht wie folgt.
>
> Zu erst wird gezeigt, dass
>
> [mm]\frac{1}{n}S_n \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 \quad\text{ f.s.}[/mm]
>
> Soweit klar. Nun setzt er:
> [mm] \begin{array}{ll}
X_n^\epsilon := (X_n - \epsilon)\ind_F, & S_n^\epsilon := X_0^\epsilon + \ds + X_{n-1}^\epsilon\\
M_n^\epsilon := \max\{0,S_1^\epsilon,\ds,S_n^\epsilon\}, & F_n := \{M_n^\epsilon > 0\}.
\end{array}[/mm]
>
> und [mm]F := \{\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}S_n > \epsilon\}[/mm]
>
> Dann ist [mm]F_1 \subset F_2 \subset \dots[/mm], klar.
>
> Den nun anschließenden Schritt verstehe ich nicht:
>
> [mm]\bigcup_{n=1}^\infty F_n = \left\{\sup_{k\in \bN} \frac{1}{k} S_k^\epsilon > 0\right\} = \left\{\sup_{k\in \bN} \frac{1}{k} S_k > \epsilon\right\} \cap F = F[/mm]
>
> Wieso gilt die erste Gleichheit?
Definition von [mm] $F_n$ [/mm] und $ [mm] S_k^\varepsilon(\omega) [/mm] > [mm] 0\Leftrightarrow \frac{1}{k}S_k^\varepsilon(\omega) [/mm] > 0$
> Wieso die zweite?
Beachte [mm] $\textbf{1}_F$ [/mm] in [mm] $X_n^\varepsilon [/mm] := [mm] (X_n-\varepsilon)\textbf{1}_F$
[/mm]
> Wieso die dritte?
[mm] $\sup$ [/mm] ist nicht kleiner als [mm] $\lim \sup$
[/mm]
>
> Vorallem "woher kommen" die [mm]\frac 1k[/mm]?
Von der Definition von $F$.
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> Leider konnte mir mein Tutor und ein Dozent auch nicht
> weiterhelfen.
>
> MfG!
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Bappi |
Danke, hast mir sehr geholfen.
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